第八届蓝桥杯决赛对局匹配

标题：对局匹配

小明喜欢在一个围棋网站上找别人在线对弈。这个网站上所有注册用户都有一个积分，代表他的围棋水平。
小明发现网站的自动对局系统在匹配对手时，只会将积分差恰好是K的两名用户匹配在一起。如果两人分差小于或大于 $K$ ，系统都不会将他们匹配。
现在小明知道这个网站总共有 $N$ 名用户，以及他们的积分分别是 $A_1, A_2, ... A_N$ 。
小明想了解最多可能有多少名用户同时在线寻找对手，但是系统却一场对局都匹配不起来(任意两名用户积分差不等于 $K$ )？

输入

第一行包含两个个整数N和K。
第二行包含N个整数A1, A2, … AN。
对于30%的数据，1 <= N <= 10
对于100%的数据，1 <= N <= 100000, 0 <= Ai <= 100000, 0 <= K <= 100000

输出

一个整数，代表答案。

样例输入：

10 0
1 4 2 8 5 7 1 4 2 8

样例输出：

样例输入：

10 1
2 1 1 1 1 4 4 3 4 4

样例输出：

资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ，不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交时，注意选择所期望的编译器类型。

思路

如果把 $n$ 个元素按照将分数相差为k的用户分成一组，例如第一组就是 $\{0,k,2k,3k...\}$ ，第二组就是 $\{1,k+1,2k+1...\}$ ，等等。这样分组的话，每个分组的用户是不可能和其他分组的用户匹配成功的，因为分差不可能为 $k$ 。
这样的话，只要在每个分组里面选取尽量多的用户就可以了。用 $cnt(i)$ 表示分数为 $i$ 的用户人数，假设现在第 $i$ 组有 $m$ 个不同分数 $\{x,x+k,x+2k,...,x+(m-1)k\}$ ，其中 $x$ 表示该组第一个人的积分，那么用动态规划法来选择尽量多的人数。 $dp(j)$ 表示选择前 $j$ 个分数能获得的最大用户人数(价值)，很明显如果选择第 $j$ 个分数，那么第 $j-1$ 个分数是不能选的，因为它们的积分相差 $k$ ，该组最大在线人数为 $dp(m)$ 。
状态转移方程如下:

d p (i) = m a x {d p (i - 1), d p (i - 2) + c n t (s c o r e)}

$dp(i) = max\{dp(i-1), dp(i-2)+cnt(score)\}$
其中

c n t (s c o r e)

$cnt(score)$ 表示积分为第

i

$i$ 个分数的总人数。是否感觉上述动态方程与01背包很类似？
需要注意的是， $k=0$ 要特殊处理。

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算法复杂度

$O(100000)$ ，只与最大分数有关。

AC代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX_SCORE 100000
const int maxn = 100000 + 5;
int cnt[MAX_SCORE+5], val[maxn], dp[maxn];
int n, k;

int main() {
    while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
        int score, ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &score);
            cnt[score]++;
        }
        //特殊处理k=0的情况
        if(k == 0) {
            for(int i = 0; i <= MAX_SCORE; i++) {
                if(cnt[i]) ans++;
            }
        } 
        else {
            for(int i = 0; i < k; i++) {
                int m = 0;
                for(int j = i; j <= MAX_SCORE; j+=k) {
                    val[m++] = cnt[j];
                }
                dp[0] = val[0];
                for(int j = 1; j < m; j++) {
                    if(j == 1) dp[j] = max(dp[0], val[j]);
                    else dp[j] = max(dp[j-2] + val[j], dp[j-1]);
                }
                ans += dp[m-1];
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

如有不当之处欢迎指出！