MIT 线性代数导论 第五讲：置换-转置-向量空间

本讲的主要内容有：

• 转置矩阵的概念
• 置换矩阵的概念
• 对称矩阵的概念以及如何求得
• 向量空间的概念以及由矩阵生成向量空间

置换矩阵（Permutation Maxtrix）

在之前的一讲中介绍了置换矩阵，置换矩阵就是行重新排列的单位矩阵，简记为 $P$ ，使用置换矩阵左乘一个矩阵的话，可以实现矩阵的行向量的重新排列，对于 $n * n$ 的置换矩阵，共有 $n!$ 种情况，这些置换矩阵有一个特点就是矩阵的逆等于矩阵的转置，即：
$P^{-1} = P^{T}，P^{T}P = I$

转置矩阵 （Transposed Martix）

转置矩阵很好理解它的意思，就是将矩阵的行列对称交换即可，举个例子，这个例子在下面的对阵矩阵中还会用到：
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
两个矩阵的元素有如下关系：
$A_{ij} = A^{T}_{ji}$

对称矩阵 （Symmetric Matrix）

如果一个矩阵（方阵）的元素按照对角线呈现的是对称的，那么这个矩阵就是对称矩阵
这里，如何由一个普通的矩阵得到一个对称矩阵呢？例如上面的 $3*2$ 的矩阵，其实很简单，就是将这个矩阵与它的转置相乘。例如：
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3\\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10 & 11 & 7\\ 11 & 13 & 11\\ 7 & 11 & 17 \end{pmatrix}$
这个结论的推导过程很简单：
$(R^{T}R)^{T} = R^{T}(R^{T})^{T} = R^{T}R$
这里注意两个矩阵相乘的整体进行转置的时候要改变顺序，可以看到矩阵的转置等于矩阵， 所以是对称矩阵

向量空间（Vector Space）

向量空间简单理解，就是由向量组成的空间，只不过对这些向量有一些要求：
必须满足的条件：

• 向量之间的加法的结果仍在这些向量中
• 向量数乘之后的结果仍在这些向量中
• 一句话说明就是向量空间对向量的线性组合封闭
  这里还有一个“小一点”的概念就是子空间（subspace），它属于一个向量空间，只是更小一点，举个例子：
  求 $R^{2}$ 二维空间的所有子空间：
• $R^{2}$ 整体就是一个子空间，就像集合的概念一样
• 过原点的一条直线
• 只有 $0$ 向量

这里有一个注意点，那就是 $0$ 向量 对于任意的一个向量空间中的一个向量，它乘以0（数乘）的结果是 $0$ 向量，因此，所有的向量空间都必须包含零向量

由矩阵构造向量空间

其实非常简单，只需要把这个矩阵的所有列向量的所有线性组合放在一起组成的空间就是一个子空间，因此这种方式构成的子空间也被称为 列空间（Column Space），简称 $C(A)$。

这一讲的内容比较少。

以上~