MIT 线性代数导论第七讲：Ax=0求解

本讲的主要内容有：

计算 $Ax=0$ 的解（求零空间）
理解主变量以及自由变量的概念
$Ax=0$ 的特殊解

求解 $Ax=0$

首先举一个例子，并进行消元过程，消元过程在之前讲到过：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \left [ 1 \right ] & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & \left [ 2 \right ] & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = U$

这里还应该注意几个地方，最后一个矩阵，我们简记为 $U$ （虽然它不是一个上三角矩阵，但是形式是类似的），其中标记了两个元素，这两个元素之前也提到过，叫做主元，或者主变量，主元所在的列，称为主列（pivot columns），那么剩下的列称为自由列（free columns），另外，这种形式的矩阵称为阶梯形式（echelon form），在消元过程中，我们得到这一步的矩阵之后，接下来就要进行“回代”操作了，也就是恢复成方程形式：
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4} = 0\\ 2x_{3} + 4x_{4} = 0 \end{matrix}\right.$

由于自由变量的赋值是任意的，所以为了方便的表示解，我们可以依次取一个自由变量为1，其余的自由变量为0，例如在这里，其中 $x_{2} ，x_{4}$ 是自由变量所以我们依次赋值1，另一个自由变量为0，得到下面的两个解：
$a=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}$
那么如何表示所有的解呢？或者说如何构造方程的解空间？（在这里方程右侧为0，也就是指零空间），我们可以是说这两个解其实是零空间的基，对它们的线性组合也就构成了整个空间，所以，表示这个任意的线性组合即可：
$x=c\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+ d\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}$
其中 $c，d$ 均为任意值，也就表示了所有的线性组合了。这个结果，称作 特殊解（special solution）。

此外，还可以继续对上面的那个”阶梯形式“矩阵继续进行化简，从而得到一种更加简单的形式：
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
这种形式的矩阵称为 简化行阶梯矩阵（reduced row echelon），它的特点是：所有的主元所在的列，只有主元为1，其余的元素都是0，其实我们如果将所有的主元列都拿出来，去掉多余的全为0的行，得到的结果就是一个单位矩阵，这个矩阵简记为 $R$ 。

关于最简形式

行最简形矩阵 $R$ 如果调整列的位置，都有如下的形式：
$R=\begin{pmatrix} I & F\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
也就是将主列 ( $I$ ) 排列在前，自由列 ( $F$ ) 排列在后，矩阵的下面会有0或者若干全为0行。
对于 $Ax=0$ 我们将特殊解的列向量组成一个矩阵，使得这个矩阵的列空间等同于方程为解空间，这个矩阵称为**零空间矩阵（nullspace of matrix）**简记为 $N$ ，则会有一个规律：
$N = \begin{pmatrix} -F\\ I \end{pmatrix}$
其实使用上述过程计算一个方程的例子就很容易发现，因为这其实只是将方程最简形式移项即可，最后附上一个更清楚的例子：
$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 &6 \\ 2 & 6 &8 \\ 2 & 8 &10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 &0 &0 \\ 0 & 2 &2 \\ 0 & 4 &4 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} {\color{Red} 1} &{\color{Red} 0} &1 \\ {\color{Red} 0} &{\color{Red} 1} &1 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$
其中标红的部分为主元，最后构成一个单位矩阵，右侧就是自由变量构成的矩阵 $F$ ，我们将这个方程解出来,
可以看出：
$x=c\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}= c\begin{pmatrix} -F\\ I \end{pmatrix}$

以上~