线性代数：置换、转置矩阵和向量空间

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本节是网易公开课上的麻省理工大学线性代数课程第五节： 转置-置换-向量空间R 的学习笔记。

本篇主要讲解 转置、置换矩阵、向量空间和子空间。

之前我们遇到的消元矩阵都不需要通过行互换，但不是所有的矩阵排序都这么好。如果消元矩阵进行消元时，如果碰到了主元为0，则必须通过行互换来解决。这时 $A=LU$ 就变为了 $PA=LU$ ， P 表示行互换的矩阵，它将各行互换为正确的位置，互换后，主元不会出现为0的情况。

转置、置换矩阵

转置矩阵

矩阵的转置公式如下：

$${(A^T)}_{i,j} = A_{j,i}$$

直白的说，就是行的元素和列的元素互换了。例如：

$${\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3\\ 4 & 1 \end{bmatrix}}^T= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$$

置换矩阵

置换矩阵是指行重新排列的单位矩阵，其实单位矩阵就是一个特殊的置换矩阵。

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nxn阶的互换矩阵个数为：$n!=n(n-1)...2·1$ 。

置换矩阵都是可逆的，并且它的逆矩阵等于它的转置（$P^{-1}=P$）。所以

$$P^{T}P=I$$

对称矩阵

对称矩阵表示矩阵转置后还等于本身的矩阵。即 $A^T=A$。例如下面的一个矩阵：

$$\begin{bmatrix} 3 & -1 & 7\\ -1 & 1 & 8\\ 7 & 8 & 7 \end{bmatrix}$$

上面讲了转置等于逆的置换矩阵，但是置换矩阵并不常见，但转置等于本身的对称矩阵还是很常见的。

我们很容易构造一个对称矩阵，例如：

使用 $R^{T}R$，可得到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3\\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 10 & 11 & 7\\ 11 & 13 & 11\\ 7 & 11 & 17 \end{bmatrix}$$

其实，对于任何$R^{T}R$得到的结果都是一个对称矩阵。证明如下：

$${(R^{T}R)}^{T}=R^{T}R$$

向量空间

向量有什么运算呢？向量可以进行数乘，例如 $3v$，向量可以进行相加，例如 $v + y$。

什么是向量空间呢？这儿的“空间”表示有很多向量（但并不是任意向量的组合），必须满足一些具体规则，必须进行加法和数乘两种运算，必须能够进行线性组合。

$R^2$ 就是一个向量空间， $R^2$ 说明我们讨论的是实数，向量用两个实数表示，所以这里均为二维实向量。例如： $[3,2], [0,0], [\pi ,e ]$ 。我们可以做出图像：

整个平面则是 $R^2$。

同样简单的还有 $R^3$，$R^3$ 是所有三维实向量组成的向量空间，$R^n$是所有n维实向量组成的向量空间。

向量空间必须对数乘和加法运算是封闭的。

假设向量空间$R^n$有一个子集， 在其内，向量的加法和数乘运算结果依然在此空间内，这就是所谓的子空间。以$R^2$为例，如何找到$R^2$的向量子空间呢？

上图中过原点的一条直线（实线）其实就是$R^2$ 的一个向量子空间。假设该直线不过原点（如上图中的虚线），则不能构成向量子空间，因为数乘运算允许乘以0，这必然得到零向量。那$R^2$ 包含的所有向量子空间都有哪些呢？

1. $R^2$ （即本身，最大的向量子空间）
2. 过原点的直线
3. 零向量（最小的向量子空间）

同理，$R^3$ 包含的所有向量子空间为：

1. $R^3$ （即本身，最大的向量子空间）
2. 过原点的平面
3. 过原点的直线
4. 零向量（最小的向量子空间）

从矩阵中构建子空间

### 通过列向量构造

假设矩阵A为：

$$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3\\ 4 & 1 \end{bmatrix}$$

它的每列向量均属于 $R^3$，所有列的线性组合（数乘和加法运算）构成了它的一个向量子空间，该向量子空间称为列空间。 如果将这个列空间画在 xyz 坐标系下，将会得到一个过原点的平面；如果构造列空间的列向量是共线的，那得到的向量子空间将是一个过原点的直线。