MIT 线性代数导论第十九、二十讲：行列式公式、代数余子式、克拉默法则

这一部分内容没有重要的内容（个人觉得哈，毕竟没有谁会手算行列式之类的吧，所以简单了解一下就好了…反正我已经修过线性代数了哈哈）

本讲的主要内容：

行列式公式
代数余子式的概念以及计算方法
三对角线矩阵行列式规律
矩阵逆的公式
克拉默法则
行列式与体积的关系

行列式公式

利用上一讲里拆分的性质，可以归纳出这个公式，就比如这样：

最终公式为：
$det \enspace A = \sum \pm a_{1\alpha }a_{1\beta }a_{1\gamma }...a_{1\omega }，\alpha ,\beta ,\gamma ....\omega , perm(1...n)$
这个求和公式共有 $n!$ 项相加，简单来说，行列式的值就是从每列每行中取出一个元素，对这些元素进行累乘，，而对于一个 $n$ 阶的方阵，这张排列方式有 $n!$ 中，对这些项求和，同时要考虑这些项的符号问题，其实就是看将这些排列恢复成从小到大（按列）的标准顺序所需要交换的次数，我们之前的性质里讲到了交换会使得行列式换号，所以如果总的交换次数是奇数，那么就是-1，反之就是1。（比如按列的序号排列是132，那么恢复成标准顺序是123，交换了一次，所以应该是-1，这里其实是有逆序数的概念，不过意思就是这样）

代数余子式(cofactor)

代数余子式用来对原来的方阵进行划分，直接描述：
$cofactor \enspace a_{ij} = \pm((n-1)matrix \enspace without \enspace row_{i}, column_{j})$
关于某个元素的代数余子式，其数值部分等于去掉这个元素所在的行列之后的矩阵的行列式，对于符号，如果 $(i+j)$ 是奇数，那么符号为负，否则为正。所以，如果我们想要计算行列式的话，可以使用代数余子式的形式进行不断的 “降阶”，简化成容易计算的形式（当然，也很麻烦）。可以先应用之前的性质，将行列式转化为某一列只有一个非零数，那么就会简单许多了。

一个三对角线的例子

这个例子是：
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
这个方阵很有特点，可以说是有 “三条对角线”，如果我们使用上面的代数余子式的方法进行化简结果，就会发现 $|A_{n}| = |A_{n-1}| + |A_{n-2}|$ ，例如：自左上角的矩阵开始，计算三阶（ $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}$ ）的行列式，那么等于二阶的（ $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{vmatrix}$ ）减去一阶（ $|1|$ ）的行列式。

逆矩阵公式

直接给出公式：可以根据代数余子式具体展开按每列的方式进行验证
$A^{-1} = \frac{1}{det \enspace A}C^{T}$
这里 $C$ 是指每个位置元素的代数余子式组成的矩阵， $C^{T}$ 一般称为伴随矩阵。

克拉默（Crammer）法则

首先要明确，克拉默发则形式很好看，但是非常不实用。对于方程 $Ax=b$ 写成逆矩阵形式 $x = A^{-1}b$ ，代入上面得到的逆矩阵公式： $x = \frac{1}{det\enspace A}C^{T}b$ ，对于方程的不同解，有如下式子成立：
$x_{1} = \frac{1}{det \enspace A}B_{1} \\ x_{2} = \frac{1}{det \enspace A}B_{2} \\ ...\\ x_{3} = \frac{1}{det \enspace A}B_{3} \\$
解都有统一的形式，只是矩阵 $B$ 不同，对于 $B_{j}$ 就等于矩阵 $A$ 将第 $j$ 列替换为 $b$ 。这个法则形式好看大于实用价值，因为行列式值实在不好计算。

行列式与体积的关系

行列式其实是列向量构成的那个多面体的体积，举例子来说，一个3*3的矩阵，一般情况下，三个列向量在不同方向上可以构成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是这个矩阵的行列式值。这里如果是两个二维向量 $(a,b), (c,d)$ 分别平移之后形成一个平行四边形，计算这个平行四边形的面积，使用行列式的方式就是 $S = ad - bc$ 比之前的底乘高的方式要简单一些。对于更加一般的情况（这两个向量的的起点不在原点），有下面的面积公式：
$S = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} &1 \\ x_{2} & y_{2} &1 \\ x_{3} & y_{3} &1 \end{vmatrix}$
其中 $x,y$ 分别是三个点的坐标。

这一部分作了解。

以上~

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