从这一讲开始新的章节。这一讲主要是一些基础概念性质,所以比较简单。
本讲的主要内容:
行列式的概念以及基本的三个性质
行列式是由方阵
A 确定的一个标量,记作
deta 或者
∣A∣, 可以看作是面积或者体积向高维空间的拓展。这里要注意的概念是我们一般意义上的考虑都是考虑方阵的行列式
行列式的三个基本性质:
- 1
detI=1 也就是单位矩阵的行列式值等于1(其实是对角线的数值的乘积)
- 2 交换矩阵的两行,行列式的值会改变符号,所以由这个性质可以得出,任意的一个置换矩阵,它的行列式值是0或者1
- 3.1关于提取行列式中某一行的公因数的操作:
∣∣∣∣tactbd∣∣∣∣=t∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
- 3.2 关于拆分行列式:
∣∣∣∣a+a′cb+b′d∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a′cb′d∣∣∣∣
上面的三个性质作为行列式的最重要的三个性质,后边的结论都可以有这三条推出。
重要推论
- 如果方阵的某两行一样,则行列式值为0,可以使用性质2推出
- 将某一行的乘以某个数加到另一行上,行列式的值不会变,比如:
∣∣∣∣ac−labd−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣+∣∣∣∣a−lab−lb∣∣∣∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣
- 如果方阵中有某一行全为0,则行列式的值为0
- 关于上三角矩阵的行列式:
U=∣∣∣∣∣∣∣∣d10...0∗d2...0∗∗...0∗∗...dn∣∣∣∣∣∣∣∣⇒detU=d1d2...dn 这里可以继续进行消元直到化简为和行最简形,这一条也是我们计算行列式的重要方法,实际上,在很多计算软件中,都是先进性消元过程将矩阵转化为上三角矩阵,然后再进行计算。
- 如果行列式的值为0,则矩阵是奇异矩阵,也就是矩阵没有逆。
-
detAB=(detA)(detB)
-
detA−1=detA1 、
detA2=(detA)2
-
det2A=2ndetA 这三条都可以通过矩阵乘积的行列式分解得出
-
detAT=detA 这一条结论可以先将方阵进行LU分解,那么得到的是矩阵等于下三角矩阵乘上三角矩阵的形式,在这种形式下,行列式的值会比较好计算,结论就会很明显。
这一讲的这些性质会在之后的计算中用到。
以上~