MIT 线性代数导论 第二十二讲：矩阵对角化和幂

本讲的主要内容

• 对角化矩阵的概念以及方法
• 计算矩阵的幂的对角化方法
• 几个例子

对角化矩阵、计算矩阵的幂

对于一个有 $n$ 个不同特征向量（其实就是说所有的特征值均不同）的矩阵 $A$，讲它的 $n$ 个特征向量组成一个矩阵 $S$ ，如果我们计算 $AS$ 可以有如下过程：
$AS = A(x_{1}, x_{2}, x_{3}...x_{n}) = (\lambda_{1}x_{1},\lambda_{2}x_{2},....\lambda_{n}x_{n})=(x_{1}, x_{2},x_{3}...x_{n})\begin{pmatrix} \lambda_{1} &... & 0\\ ... & ... & ...\\ 0 &... & \lambda_{n} \end{pmatrix}=S\Lambda$

一定注意上面的式子成立的条件是矩阵有 $n$ 个不同的特征向量，如果我们将上面的结论继续做变化：
$A = S\Lambda S^{-1}$

那么现在就可以拿到这个形式很好看的等式了。使用这个等式我们可以简化很多矩阵的幂的计算，例如计算 $A^{2}$:
$A^{2} = (S\Lambda S^{-1})^{2} =S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1} = S\Lambda^{2}S^{-1}$

利用对角化计算差分方程

对于矩阵 $A$ ，如果有列向量 $u_{i}$ 总有 $u_{i+1} = Au_{i}$，现在已知 $A, u_{0}$，如何求解 $u_{k}$？
首先展开这个递推式：
$u_{k} = Au_{k-1}=... = A^{k}u_{0}$
然后把矩阵对角化（当然，这个问题的前提是矩阵可以对角化），有： $u_{k} = S\Lambda^{k}S^{-1}u_{0}$，这时候，前提条件中的 $n$ 个线性无关的特征向量就有用了， 对于 $u_{0}$ 这个 $n$维向量，可以用这 $n$ 个特征向量来表示，可以有：
$u_{0} = c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2} +...+c_{n}x_{n} = (x_{1}, x_{2}, ...,x_{n})\begin{pmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ ... \\ c_{n} \end{pmatrix}= SC$
其中 $S$ 跟前面对角化中的矩阵是一样的，都是特征向量组成的矩阵，把这个式子代入前面的 $A^{k}u_{0}$，就可以得到最终的结论：
$u_{k} = A^{k}u_{0} = S\Lambda^{k}C$
计算这个表示线性组合的向量 $C$ 还是比较简单的，所以计算的过程简单了一些。

计算Fibonacci 数列

这一个例子是上面的一个应用，首先我们知道斐波那契数列是：
$0,1,1,2,3,5......$
也就是：
$F(n) = F(n-1) + F(n-2) ,(n>=3)$
为了使用对角化的知识计算，令 $u_{k} = \begin{pmatrix} F_{k+1}\\ F_{k} \end{pmatrix}$，构造差分方程组：
$\left\{\begin{matrix} F(k+2) = F(k+1) + F(k)\\ F(k+1) = F(k+1) \end{matrix}\right.$
这时候，我们可以得到：
$u_{k+1} = Au_{k}，A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1&0 \end{pmatrix}$
这样，我们就构造了上面一样的递推形式，接下来按照对角化矩阵 $A$ 然后就可以计算 $S\Lambda^{k}C$就可以快速计算了。

用线性代数解决斐波那契数列，感觉真的是…Amazing！，学数学的人真厉害啊。

以上~