MIT 线性代数导论 第十二讲：图和网络

本讲的主要内容：

• 将线性代数与实际问题（图）联系起来

首先，在之前的一节中，我们了解了图的基本概念，本讲的例子：如下

在这个图中有四个结点，五条边。上面的图可以表示很多实际的问题，例如，如果上图表示电路网，带有箭头的线就表示电流以及方向。

由上面的图，我们将它的关联矩阵（Incidence Matrix）写出来：
注意关联矩阵的4列分别表示4个结点，行分别表示5条边，其中出点标记为-1，入点标记为1.
$A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

考虑矩阵 $A$ 的零空间，经过消元和回代：
$Ax=\begin{pmatrix} x_{2}-x_{1}\\ x_{3}-x_{2}\\ x_{3}-x_{1}\\ x_{4}-x_{1}\\ x_{4} - x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$
通过分析矩阵的秩： $r=3$，所以 $dim\enspace N(A)=1$ ，可以得到零空间的一组基：
$c\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$
结合考虑实际的情况，使用这个图表示电路网，那么通过这个方程可以计算途中不同结点的电势差。

如果将矩阵转置：计算 $A^{T}y = 0$，其中 $y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}$均表示电流：
$A^{T}y= \begin{pmatrix} -y_{1}-y_{3}-y_{4} = 0\\ y_{1}-y_{2}=0\\ y_{2}+y_{3}-y{5}=0\\ y_{4}+y_{5} = 0 \end{pmatrix}=0$
如果我们对应图考虑上面的方程，可以理解为电流的流入等于流出，也就是守恒的。

回到 $A$，我们已经知道了它的秩是3，考虑它的主列，符合要求的一个是取1、2、4列，如果我们将对应的边（第1、2、4边）在图中划出，则会发现一个结论：
主列所对应的边，不会有回路，也就是组成了一棵树（Tree）

此外，结合之前的维数、秩的关系式：
$dim\enspace N(A^{T}) = m - r，r=n-1$
放在图的意义中表示,也就是：
回路数 = 边数 - （结点数-1）
这个就是图论中重要的公式，欧拉公式。

以上~