MIT 线性代数导论第二十四讲~二十九讲的概念梳理

最后的这几讲很多是介绍一些概念以及应用和复习总结，所以简单记录下一下，不再详细展开。
主要内容有：

马尔可夫矩阵以及傅里叶级数的概念
实对称矩阵以及正定矩阵的介绍
相似矩阵的概念
正定矩阵的概念

马尔可夫矩阵

马尔可夫矩阵（Markov Matrix）：

首先是一个 $n$ 阶的方阵（其实在之后的几讲中，讨论的都是方阵）
方阵中的每个元素都非负
每一列元素的和都等于1

马尔可夫矩阵有两条重要的性质：

一定有有特征值等于1
其余的所有的特征值的绝对值都小于1

傅里叶级数

对于一个 $n$ 维的向量 $v$ ，如果有一组此空间的标准正交基 $(q_{1}, q_{2},...q_{n})$ ，则这个向量对于这组基的投影可以表示为：
$v = x_{1}q_{1} + x_{2}q_{2}+...+x_{n}q_{n}$
那么，可欧律一个问题，如果要求的其中某一个分量上的分解量，比如求 $x_{i}$ ，那么可以将上面的式子左右同时乘以 $q_{i}^{T}$ ，从而得到：
$q_{i}^{T} v= x_{1}q_{i}^{T}q_{1} + x_{2}q_{i}^{T}q_{2} + ...+ x_{i}q_{i}^{T}q_{i} +...+x_{n}q_{i}^{T}q_{n} = x_{i}$
,如果使用 $Q=(q_{1}, q_{2},...q_{n})$ ，则 $Q$ 是一个正交阵，则 $(x_{1}, x_{2},..,x_{n})^{T} = Q^{-1}v$ 。
有了这个方法，再来看傅里叶级数，它的函数表示为：
$f(x) = a_{0} + a_{1}cos(x) + b_{1}sin(x)+a_{2}cos(2x) + b_{2}sin(2x)+....$
这里可以把每一项看作是空间的一个元素设两个函数的内积为： $\int_{0 }^{2\pi}f(x)g(x)d(x)$
，可以得到，傅里叶级数中的每两项都是相互正交的，例如：
$\int_{0}^{2\pi}sin(x)cos(x)d(x) = 0$
，这里的处理跟上面的很相似，所以给我们的启发就是，如果我们要求傅里叶级数的某一项系数,a_{i},b_{i}，可以将函数进行投影，例如，求a_{1}:
$\int_{0}^{2\pi}cos(x)f(x)d(x) = a_{0}\int_{0}^{2\pi}cos(x)dx+a_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)^{2}dx+b_{1}\int_{0}^{2\pi}cos(x)sin(x)dx+....$
可以得到：
$a_{1} = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}cos(x)f(x)d(x)$

实对称矩阵

对称矩阵有很多优秀的性质，所以接下来的很多概念都跟对称矩阵有关系，实对称矩阵是所有的元素都是实数的矩阵，它的主要性质如下：

所有的特征值都是实数
所有的特征向量都是实向量
具有 $n$ 个线性无关的特征向量
所以，任意的实对称矩阵都可以表示为 $Q\Lambda Q^{-1} = Q\Lambda Q^{T}$ 的形式

正定矩阵

正定矩阵式特殊的实对称矩阵，其所有的的特征值都大于0，对应的二次型 $x^{T}Ax$ 恒大于0，判断实对称矩阵是否式正定矩阵的方法：

定义判断，是否所有的特征值都大于0
从左上角开始 $0 - n$ 阶的子行列式都大于0

相似矩阵

对于两个方阵 $A,B$ ，如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得： $P^{-1}AP=B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，相似矩阵具有如下的性质：

相似矩阵具有相同的特征值
如果矩阵 $A$ 与对角阵相似，则对角阵中的对角线值也就是 $A$ 的 $n$ 个特征值，这里也就是之前讲到过的对角化的知识。