MIT 线性代数导论 第九讲：四个基本子空间

本讲的主要内容：

• 四种子空间的概念以及维数、基

四种基本子空间

首先了解四种基本子空间是什么：

• 列空间（column space），简记为 $C(A)$， 由矩阵的列向量生成的空间
• 零空间（null space），简记为 $N(A)$， 方程 $Ax=0$ 的解向量生成的空间
• 行空间（row space），简记为 $C(A^{T})$（注意这里的是矩阵的转置），矩阵的行向量生成的空间
• 左零空间（the null space of $A^{T}$），简记为 $N(A^{T})$，也就是矩阵转置之后的零空间

接下来讨论这四种子空间所属的空间：
对于一个矩阵 $A$（ $m\times n$）时，结论如下：

• $N(A)$属于 $\mathbb{R}^{n}$
• $C(A)$ 属于 $\mathbb{R}^{m}$
• $C(A^{T})$属于 $\mathbb{R}^{n}$
• $N(A^{T})$属于 $\mathbb{R}^{m}$

这里注意属于的意思也就是这些空间均是后面空间的子空间。

接下来讨论这几种子空间的维数：
首先来看 $C(A)$ 和 $N(A)$ 列空间和行空间在之前已经进行过讨论，这两个空间的维数的和是矩阵的列空间的数目，也就是 $n$:

• $dim \space C(A) = r$
• $dim \space N(A) = n-r$

而对与另两个，也就是相当于将矩阵转置之后再进行考虑，因为矩阵的转置不改变矩阵的秩，所以结论如下：

• $dim \enspace C(A^{T}) = r$
• $dim \enspace N(A^{T}) = m-r$

这里还是要理解清楚空间的维数是什么概念（空间的基所含向量的个数），不要搞混了

总结一下上面的两个结论：

$\mathbb{R}^{n} \space \left\{\begin{matrix} C(A^{T}) \enspace dim=r\\ N(A) \enspace dim=n-r \end{matrix}\right.$
$\mathbb{R}^{m} \space \left\{\begin{matrix} C(A) \enspace dim=r\\ N(A^{T}) \enspace dim=m-r \end{matrix}\right.$

注意不要搞混。

这一讲的最后还提到了一个问题，那就是将所有的 $3 \times 3$ 的矩阵看作向量，由这些 “向量” 生成空间 ，我们可以得到这个空间的一组基为：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

其实就相当于将我们之前的向量拓展为矩阵，将 $\mathbb{R}^{n}$ 延申到 $\mathbb{R}^{n\times n}$,接下来的课程里还会具体讲到。

以上~