MIT 线性代数导论 第八讲：Ax=b可解性以及解的结构

本讲的主要内容：

• $Ax=b$ 的求解过程
• 讨论 $Ax=b$ 各种情况是否存在解

求解过程

这一部分使用的例子，这里我直接写成矩阵形式：
$Ax=b\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2\\ 2& 4 & 6 & 8\\ 3& 6 & 8 & 10 \end{pmatrix}x= \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix}$
接下来使用写成增广矩阵的形式 $(A,b)$ 进行消元：
$\begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & b_{1}\\ 2& 4 & 6 & 8 &b_{2}\\ 3& 6 & 8 & 10 &b_{3} \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & b_{1}\\ 0& 0 & 2 & 4 &b_{2}-2b_{1}\\ 0& 0 & 0 & 0 &b_{3}-b_{2}-b_{1} \end{pmatrix}$
至此，我们可以很清楚的看到这个方程可解的条件： $b_{3} - b_{2}-b_{1} = 0$
对于方程 $Ax=b$ 方程可解的条件，或者说可解性（Solvability） 即（其实在之前列空间部分讲到过）：

• $b$ 存在于 $A$ 的列空间中，也就是 $b\in C(A)$

或者说：

• $A$ 的行向量的线性组合为0的时候，右侧向量的组合也必须为0，也就是同步

那么，接下来来写出方程的完整解：
分为两个步骤：

• 1.找到方程的特殊解（particular solution）
• 2.找到方程的零空间的任意解（也就是基础解系）

为方便，取 $\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 6 \end{pmatrix}$代入方程中，得到消元后增广矩阵：
$\begin{pmatrix} 1& 2 & 2 & 2 & 1\\ 0& 0 & 2 & 4 &3\\ 0& 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$
按照求解的算法：
$Step 1:$ 求出特定解，也就是将所有的自由变量(free variables)赋值为0，接出来得到： $x_{particular} =\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0\end{pmatrix}$

$Step 2:$ 求出零空间的任意一个解，也就是求解对应的 $Ax=0$ 的解，具体做法按照之前的算法，将所有的自由变量依次赋值为1，上述方程有两个自由变量，最终结果可以记作： $x_{nullspace}=c1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+c2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}$,这个结果又叫做基础解系

$Step 3:$ 将上述两部分加起来即可得到完整解，也就是： $x_{compelete} = x_{particular} + x_{nullspace}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0\end{pmatrix}+c1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+c2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}$
这个结果即为方程的所有解，这个结果证明如下：
$\left\{\begin{matrix} A x_{particular} = b\\ A x_{nullspace} = 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(x_{particular} + x_{nullspace}) = b$
如果从图像中理解这个结果，也就是在四维空间中的一张平面（不太直观）：我们可以看到基础解系确定的是这个四维空间的一个过原点的平面，也就是 $Ax=0$ 的情况，将这个平面移动到过 $x_{particular}$ 这个点，此时，这个平面就表示结果。

讨论不同情况方程的可解性

总结对于一个 $m\times n$ 的矩阵（秩为 $r$ ）所有的解的可能情况：

• 1. $m=n=r$: 唯一解，没有自由变量，所以零空间只有零向量，所以解就等于特殊解，最后的形式为
• 2. $r=m<n$: 有无穷多解，有自由变量，零空间的存在无穷多向量。
• 3. $r=n<m$: 有唯一解或者只有0解，没有自由变量，所以零空间只有一个零向量，只存在特殊解，特殊解可能存在或者不存在。
• 4. $r<m,r<n$: 无解或者有无穷多解

这几个结论，其实只要画一下矩阵的大致形状就很好理解了。
以上~