这一讲的主要内容有:
- 矩阵转置与逆的顺序问题
- 矩阵
A 的
LU 分解
- 置换矩阵群
矩阵转置与逆
首先关于矩阵的分解要用到几个定理:
对于矩阵
A 和矩阵
B :
求两个矩阵乘积的逆矩阵
只需要交换两个矩阵的逆的顺序并相乘即可,也就是:
(AB)X=I,X=B−1A−1
对于单个矩阵, 转置运算和逆运算可以交换顺序
(A−1)T=(AT)−1
证明过程如下:
AA−1=I 的左右同时转置,单位阵转置之后仍然是单位阵, 此时也就是
(A−1)TAT=I (注意交换顺序了,这是转置的规则)所以
(A−1)T 是
AT 的逆矩阵(因为两个矩阵相乘的结果是单位阵)
矩阵
A 的
LU 分解(基础矩阵分解)
这个知识点是比较好理解的,首先来看 对于一个矩阵
A 如何变化为 矩阵
U ,成为一个上三角矩阵?这是上一讲的内容,我们可以左乘一系初等矩阵,来控制行变换,从而得到
U ,以33的矩阵为例:
A→E32E31E21A=U
其中
E32 等下标表示进行组合的行,一个普通的33的矩阵,如果变为上三角矩阵,总共要消去三个元素,也就是对角线下面的三个,因此需要上述式子的三个消元矩阵。
我们对上面的式子进行变形:
A=(E21)−1(E31)−1(E32)−1U
注意这里是左边三个消元矩阵的逆序逆矩阵,写一下就会注意到。
那么我们索要进行的
LU 分解 中的矩阵
L 也就是上面三个逆矩阵的乘积了,也就是:
L=(E21)−1(E31)−1(E32)−1
看起来很麻烦,还要计算三个消元矩阵,又要计算他们的逆,其实不然,对于初等矩阵,之前讲到过,它的逆只要把变换再还回去就是了,比如矩阵
⎝⎛120010001⎠⎞ 表示将矩阵的第一行乘2加到第二行上(如果用它右乘一个矩阵的话),那么这个操作的逆操作就是从第二行减去2倍的第一行就是了,所以它的逆矩阵就是
⎝⎛1−20010001⎠⎞ 所以其实很简单。
补充置换矩阵的一些内容
这一讲额最后,还补充了一些行变换置换矩阵的问题,比如,3*3的矩阵,它的行变换置换矩阵有几种情况?
其实就是三行的全排列,也就是3的阶乘,其他维数的矩阵计算也是如此。
所有的情况如下:
⎝⎛100010001⎠⎞⎝⎛100001010⎠⎞⎝⎛010100001⎠⎞⎝⎛001100010⎠⎞⎝⎛001010100⎠⎞⎝⎛010001100⎠⎞
这一组矩阵群有个很奇妙的性质,任意两个矩阵的乘积或者逆都在这个矩阵群里,并且每个矩阵的逆矩阵等于它的转置。
以上~