MIT 线性代数导论 第一讲：线性方程组的几何解释

这一讲主要是从行和列两个角度看待方程组的几何解释：

行图像（row picture）

从每个方程的角度理解，例如方程组：
$\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\ -x+2y=3 \end{matrix}\right.$

其中每一个方程可以看作二维平面上的一条直线，因此，整个方程组的解就是两条直线的交点，这个是我们习惯的想法，图像如下：

更为重要的思路是接下来的列图像的方式进行几何解释，这是线性代数最为核心的思路。

列图像（column picture）

我们换一种想法，在列上考虑整体方程组，而不是单个的方程，可以得到下面的形式

$x\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}$

那么我们将括号中的内容理解为向量，那么线性方程组就转化为求解一组解 $x$, $y$使的前面两个向量的组合可以得到第三个向量，从图像上可以更清楚地理解：

那么进一步，我们可以使用矩阵的形式表示上述过程，将系数与未知量分开，如下：
$\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 3 \end{pmatrix}$
将上述的过程一般化，我们可以使用矩阵 $A$表示系数矩阵， $x$向量表示要求的线性组合，使用向量 $b$表示组合的结果：
$Ax = b$
这就是线性代数中所常见的矩阵相乘的形式。

二维的情况比较好理解，教授在课上还举了一个三维的例子，其实原理是一样的，如果拓展到更高维的空间，方法还是一样的。

关于 $Ax=b$ 存在解的问题

考虑问题：对于任意的一个向量b，是否总存在x使得上式成立。对应上面的过程，其实这个问题就是使用A（这里矩阵可以理解为多个列向量）的列向量，是否可以覆盖整个空间？例如
A中是二维向量，那么是否可以通过一定的线性组合覆盖整个平面？（三维就是覆盖整个空间）那么，我们可以想到，对于二维空间，如果两个向量恰好在一条直线上，那么显然无法覆盖整个平面，如果是一般的情况则是可以的，对于这个解的问题，是线性代数的一个重要问题，后面会有更具体的解释。

以上~