MIT 线性代数导论 第六讲：列空间以及零空间

本讲的主要内容：

• 回顾向量空间以及子空间的知识点
• 使用线性方程组的思想看待列空间问题
• 零空间的概念

向量空间以及子空间

这里主要是对之前的知识的一点回顾，有一点新问题是对于子空间，交以及并是否仍然是子空间？
这里以三维空间 $R^{3}$ 为例：
取 $P$ 为三维空间中过原点的一个平面（plane） ，取 $L$ 为三维空间中过原点的一条直线，则根据向量空间以及子空间的定义，可以得知 $P$ 和 $L$ 都是三维空间的子空间，那么有：
$P\bigcup L$ 非子空间，而 $P\bigcap L$ 是子空间，很好理解，如果在 $P$ 和 $L$ 中各取一个向量，则它们的向量和不一定在并集之内，而交集则是两个向量的肯定共同属于 $P$ 和 $L$。

矩阵的列空间（Column Space）

在之前的一讲中我们知道将矩阵 $A$ 看作是多个列向量，则这些列向量的所有线性组合就组成了列空间（column space 简记为 $C(A)$），这里老师使用的例子：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$
将三个列向量的所有线性组合得出向量放在一起，就得到了列空间（这里的 $C(A)$ 是四维空间的一个子空间），现在有一个问题： $C(A)$ 是否能构成整个四维空间？
如果我们使用方程的思想来看，也就转化为这个问题：
$AX=b$ 是否总是有解？即：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} = b$
直观一点来想的话：是不能的，我们有三个四维向量（实际上是两个），只能构成一个三维平面，现在却要表示四维空间的所有向量，一般是无解的。
知道 $C(A)$ 无法覆盖整个四维空间之后，关于上面的方程组还有一个结论：如果上面的方程有解，显然有一个条件： $b\subset C(A)$。

零空间（Null Space）

接下来是一个新的概念：零空间（null space 简记为： $N(A)$），其实是上面的方程组的一种情况，也就是考虑 $Ax=0$ 的解，方程的所有解向量构成了零空间，可以看出零空间是三维空间 $R^{3}$ 的一个子空间，而列空间，则是四维空间 $R^{4}$ 的一个子空间，这个地方注意一下，比如之前的例子：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

因为第三列其实是前两列的组合，我们可以很简单的求解这个方程：
$x = c\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ \end{pmatrix}$
结果是四维空间的一条直线。
接下来，我们来验证一下 $Ax=0$ 的解总是可以构成子空间，也就是检验解满足向量的加法以及数乘，其实非常简单：
设任意 $v$， $w$ 都是方程的解，则加法：
$\left\{\begin{matrix} Av=0\\ Aw=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow A(v+w) = 0$
数乘就更明显了。
这一讲的内容比较简单，主要是为下面的内容介绍几个概念。

以上~