MIT 线性代数导论 第二十一讲：特征值与特征向量

敲黑板，敲黑板 。特征向量与特征值在很多地方都有应用，这一将开始讲这一部分的内容，也是线性代数里面很重要的一部分知识了。

这一讲的主要内容：

• 特征值、特征向量的概念
• 特征值与特征向量的计算方法

特征向量、特征值的概念

对于矩阵 $A$ 和向量 $x$ ， 有线性变换： $Ax$, 如果有 $\lambda$ 使得 $Ax = \lambda x$成立，则 $\lambda$ 是矩阵的特征值， 向量 $x$ 称为矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$的特征向量，如果直观的理解就是 通过 $A$ 对向量 $x$ 的变换 与 $x$ 平行，也就是 $Ax$ 平行于 $x$。
例子：
如果矩阵 $A$ 是一个置换矩阵 $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，也就是求解下式：
$\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}$
可以很简单的看出两个 $\lambda$ 的值：

• $\lambda = 1$ 对应的特征向量是 $x = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$。
• $\lambda=-1$ 对应的特征向量是 $\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}$。

这里的例子主要是对上面的概念有一个了解

如何计算特征向量和特征值

也就是如何解 $Ax = \lambda x$，移项之后可得：
$(A-\lambda I) x= 0$

观察上面的式子，根据之前的齐次方程组的解的特征，我们可以得知，上式有非零解的条件就是 $A-\lambda I$ 是奇异矩阵，也就是它的行列式的值等于零。

举例来说看这个计算过程，假定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$。也就是：
$det\enspace (A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \\ \end{vmatrix}= 0$
计算可得两个 $\lambda$ 值分别是 2， 4.计算特征向量，可得：

• $\lambda =2$特征向量是 $\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}$
• $\lambda = 4$ 特征向量是 $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$

这里的计算过程不是重点，如果我们将这个例子跟上面的例子对比一下，其实很有特点，都是对称矩阵，并且区别仅仅是对角线上的元素同时加了3，这个改变使得特征值也同时增加了3， 么有改变特征向量。证明过程如下：
对于之前，有： $Ax = \lambda x$成立。
对角线元素同时增加一个数，以3为例：也就是 $(A+3I)x$, 化简的： $Ax + 3x$ 这里使用 $\lambda x$替换，得到： $(\lambda + 3)x$ 而这个形式也就是求特征向量的形式，只不过表示特征值由 $\lambda$ 变成了 $\lambda + 3$.

同时，我们可以通过类似的方式得到两个结论：
对于矩阵 $A$ 的特征值分别是 $\lambda_{1}、\lambda_{2}、\lambda_{3}...\lambda_{n}$，对角巷元素分别表示为： $a_{11}、a_{22}...a_{nn}$ 可以得到：

• $\lambda_{1} + \lambda_{2}+...+\lambda_{n} = a_{11} + a_{22} +...+a_{nn}$
• $det \enspace A = \lambda_{1} \lambda_{2}..\lambda_{n}$

更具体的内容在下一讲中。

以上~