MIT_线性代数笔记_05_转置、置换、空间R^n

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 5: Transposes, permutations, spaces R^n

课程 5：转置、置换、空间R^n

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置换矩阵(permutation matrix)

• 置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个 $1$，其余的元素都是 $0.$
• 置换矩阵可由单位矩阵经过行或列交换得到。
• 一个矩阵乘以置换矩阵，相当于对矩阵的行或列进行交换。
• 置换矩阵的性质：$P^{-1} = P^T$ ， 即置换矩阵都是正交矩阵。
• 由于置换矩阵的每一行都可以看作取自单位矩阵的某一行， 因此 $n \times n$ 维置换矩阵共有 $n !$ 个（第一行有 $n$ 种取法，第二行 $n-1$ 种，$\cdots$，第 $n$ 行 $1$ 种）。

转置
矩阵 $A$ 的转置记为 $A^T$，$A$ 与 $A^T$ 的关系：

$$(A^T)_{ij} = A_{ji}.$$

若矩阵 $A$ 满足 $A=A^T$，则称 $A$ 为对称矩阵。

对于任何一个矩阵 $A$，不管 $A$ 是长方形矩阵还是方阵，$A^TA, AA^T$ 一定是对称矩阵，因为

$$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T, \quad (A^TA)^T = A^TA.$$
这也是构造对称矩阵的一种方法。

空间 $\mathbb{R}^n$

• 所有 $n$ 维列向量构成的向量空间即为 $\mathbb{R}^n.$

• $\mathbb{R}^2$ 的所有子空间：

  • $\mathbb{R}^2$
  • 零向量 $(0, 0)^T$
  • 所有通过零向量 $(0, 0)^T$ 的直线

• $\mathbb{R}^3$ 的所有子空间：

  • $\mathbb{R}^3$
  • 零向量 $(0, 0, 0)^T$
  • 所有通过零向量 $(0, 0, 0)^T$ 的直线
  • 所有通过零向量 $(0, 0, 0)^T$ 的平面

• 矩阵的列空间
  矩阵 $A$ 的列的所有线性组合构成一个线性空间，称为 $A$ 的列空间。

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）