问题描述
每年冬天，北大未名湖上都是滑冰的好地方。北大体育组准备了许多冰鞋，可是人太多了，每天下午收工后，常常一双冰鞋都不剩。
每天早上，租鞋窗口都会排起长龙，假设有还鞋的m个，有需要租鞋的n个。现在的问题是，这些人有多少种排法，可以避免出现体育组没有冰鞋可租的尴尬场面。（两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法）
输入格式
两个整数，表示m和n
输出格式
一个整数，表示队伍的排法的方案数。
样例输入
3 2
样例输出
5
数据规模和约定
m,n∈［0,18］
代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int m, int n) {
if (m < n)
return 0;
if(n == 0)
return 1;
return f(m - 1, n) + f(m, n - 1);
}
int main() {
int m, n;
cin >> m >> n;
cout << f(m, n);
return 0;
}
递归的代码很简单，但网上说的思路都不是特别清楚，自己琢磨了一下。
下面呢来说说我的思路吧。
首先，我将整个问题转化成另一个等价的问题：现有m个1和n个-1，要求将这些数组合成长为m+n的数列，要求满足任意前k（1<=k<=m+n）项的和不能为负数，则共有多少种组合方式？
例如，当m=2，n=2时，满足条件的组合有：
- 1，-1,1，-1
- 1,1，-1，-1
一共有两种组合方式。
我们用f(m,n)来表示上述问题的组合方式的个数。先罗列出部分f（m，n）的结果：
| m/n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \ | \ | \ | \ | \ | \ | |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 2 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 5 | 5 | |||
| 4 | 1 | 4 | 9 | 14 | 14 | ||
| 5 | 1 | 5 | 14 | 28 | 42 | 42 | |
| … |
很显然：
- 当m<n时，无论以哪种组合方式，前m+n项的和是小于0的，因此组合方式为0；
- 当n=0时，组合方式只有1种，就如原题中所述：两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法.
那么，对于一般情况下,该怎么求解呢？
我们首先从数列排列的第一个数看，至少满足前1个也就是第1个数大于0，那么数列第一个就只能是1，可是这并不能为我们解题带来什么帮助，因为所有满足条件的数列都会有第一个数为1。
既然开头不行，那我们不妨换成从结尾看，对于结尾也就是第m+n个数，它既可能是1，也有可能是-1，可不论是1还是-1，根据题目条件则必有：满足条件的数列的前m+n-1项数列也是满足条件的一组数列，并且有：
- 对于第m+n个数是1的情况，那么前m+n-1项中共有m-1个1和n个-1，那么这m+n-1个数组成满足条件的数列的个数为f(m-1,n)。
- 同理，对于第m+n个数是-1的情况，那么前m+n-1项中共有m个1和n-1个-1，那么这m+n-1个数组成满足条件的数列的个数为f(m,n-1)。
因此，有f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1)，并且这个一般规律与上面表格相一致。综上：
