斯坦福大学-自然语言处理入门 笔记 第十一课 最大熵模型与判别模型（2）

一、最大熵模型

1、模型介绍

• 基本思想：我们希望数据是均匀分布的，除非我们有其他的限制条件让给我们相信数据不是均匀分布的。均匀分布代表高熵（high entropy）。所以，最大熵模型的基本思想就是我们要找的分布是满足我们限制条件下，同时熵最高的分布。
• 熵：表示分布的不确定性的度量。就算公式如下：
  
• 举例而言：抛一枚硬币的熵如下图，横轴表示抛到正面的概率
  
• 特征限制：放到实际场景来考虑这个问题的话，我们所找的分布是在满足特征限制的情况下的最大熵分布。特征限制公式如下：
  
  • 添加特征限制会导致：得到的分布有更低的最大熵，但是提升它对数据的最大似然（likelihood）；使得分布离均匀分布更远，但是会更接近数据的实际分布。

2、例子介绍

• 例子1：抛硬币问题，限制一是：P（抛正面）+P（抛反面）=1，限制二：P（抛正面）=0.3
  
• 例子2：已知一段文本中的元素的词性以及对应的频率，这个是我们的数据。基于此我们来寻找最大熵模型。
  
  

3、凸性

• 凸的定义，满足如下公式的函数就表示该函数有凸性，凸性保证函数只有一个单独的全局最大值。
  
• 基于凸的推导可得：有限制条件的熵是凸函数
  • -xlog(x)是凸函数；因为凸函数的和也是凸函数，所以-∑xlog(x)是凸函数；限制条件是一个线性子空间，也是凸函数；所以有限制的熵就是凸函数。因此指数模型的最大似然也是凸的。

二、最大熵模型中的特征重叠（overlap）

1、特征重叠（overlap）

• 正如我们在之前论述的那样（ Introduction to NLP by Chris & Dan翻译 第八课 最大熵模型与判别模型 的第五节），重复的特征对最大熵模型没有影响，但是会对朴素贝叶斯产生影响。可以看到下面的例子中，两个特征都是A=2/3，对估计的结果没有影响。
  
  从下面的例子中，我们也可以看到：Grace和<G这两个特征（用箭头指的特征）存在着一定程度的重叠，因此特征Grace的权重就接近于0。
  

2、特征交互（interaction）

• 如果想在最大熵模型中构建特征交互项，我们就需要直接加入交互项特征。例子如下：
  
  

3、特征选择

• 逻辑回归中的交互特征选择是用贪婪逐步搜索（greedy stepwise search)
• 但是随着本身的特征增长，可能有效的交互特征是指数型增长的，所以这种选择只在有4-8个特征的时候是有效的。
• 在自然语言处理中，我们经常会使用到成百上千的特征，所以我们不能使用这样的选择方法。
• 一般而言，交叉项是基于语言直觉（linguistic intuitions）直接选择的。

三、条件和联合指数模型的关联

• 对联合模型P(X)和条件模型P(C|D)而言，我们可以认为C×D是一个复杂的X，其中
  • C比较小：2-100个种类
  • D非常巨大：文档空间是很巨大的
• 我们构建模型P(C,D)，基于此我们计算特征的期望
  
• D是无限的，但是就我们的数据而言，d是有限的。所以我们可以在这个模型 中加入一个特征，并且对它进行限制以匹配我们的实证数据。
  
• 这样大部分的P(c,d)就是0，这样我们就可以把期望改写成
  
• 这个改写的途径就是把P(c,d)改写成下面的公式，也就是包含P(c|d)的模式
  
• 因此，实际上这两个模型的关联在于，条件模型实际上就是有边界限制的联合模型（这个限制是对观察到的数据分布的匹配）。

四、最大熵模型的平滑

1、为什么要进行平滑？

• 特征很多：NLP最大熵模型有超过一百万的特征，即使对这些参数进行简单的存储都会导致很大的内存负担。
• 稀疏很多：很容易导致过拟合，很多在训练的时候用到的特征可能在测试的时候不会再出现了。
• 优化问题：特征的权重可能是无穷大，迭代去需要花很多时间才能到无穷大
• 举例而言
  
  
  在上面的第三种情况中，会出现λ无穷大的情况，导致优化过程会非常漫长；并且它假设一直会出现正面，本身就没意义。

2、平滑方法一：早停（early stopping）

• 在进行几轮的迭代之后，停止优化。
  • λ值就不会无穷大（但是会很大）
  • 优化不会无穷无尽地进行下去了
  • 经常被用在早期的最大熵模型中

3、平滑方法二：先验（priors（ MAP））

• 设定存在一个先验期望：参数值不会很大。这样我们就可以利用先验（priors）来平衡实证导致的无穷大的参数，使其平滑。
• 实现方法：把优化目标改为最大后验似然
  
• 先验（prior）项：高斯/二次/L2先验
  • 基本思想：先验期望是每个参数都遵循平均数为μ方差为σ²的高斯分布。如果参数离他们的平均先验值（通常μ=0）很远的话就会对他们进行惩罚。
    
    对于σ²而言，它的作用是调节参数离开μ的容易程度，如果很小的话，会使得参数更容易接近0。一开始的时候，比较合适的值是σ²=1/2，后期可以再调整。
    
    我们可以把高斯先验的优化目标写为：
    
    它的导数是：
    
  • 高斯先验牺牲了一部分的期望匹配来获得更小的参数。也就是那些有更多数据符合的特征会有更高的权重。如下面的训练数据所示，符合NNP特征的数据比符合IN NNP特征的数据多，因此NNP特征的权重也更高。同时正确率也会提升。
    
• 例子：词性标注
  
• 关于称呼：在贝叶斯语境中我们一般称之为prior或者MAP估计。人们更常见的称呼是正则，高斯先验对应的称呼是L₂正则。但是实际上这几种称呼对应的方法在数学上没有区别。

4、平滑方法三：虚构数据（virtual data)

• 基本思想：平滑数据而不是平滑参数。这个方法和生成模型的加一平滑非常相似。
• 主要的问题是当特征很多的时候，虚构数据会非常困难。
• 例子如下：
  

5、平滑方法四：计数切断（count cutoff）

• 主要的想法就是直接把那些实证计数比较少的特征丢掉
  • 非常弱和不直接的平滑方法
  • 相当于把这些特征的权重改为0
  • 相当于加入了一个平均值为0方差为0的高斯先验
  • 丢掉的那些计数很少的特征确实大部分是需要平滑的 ，同时它也降低了模型的规模加速了估计，但是和平滑相比它会伤害一定的准确性。
• 我们认为尽量不要使用计数切断，除非是基于内存的原因。