MIT_线性代数笔记_06_列空间和零空间

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 6: Column space and nullspace
课程 6：列空间和零空间

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子空间(Subspace)

• 设非空集合 $S \subset \mathbb{R}^n$，且 $S$ 中的元素对加法和数乘封闭（即，对任意的 $u,v \in S, u+v \in S, \lambda u \in S, \lambda$ 是常数），则 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间。

• 设 $V, W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，则 $V \cap W$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间（显然对加法和数乘封闭），但 $V \cup W$ 未必是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，因为 $V \cup W$ 中的元素未必对加法和数乘封闭，如考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的过原点的平面 $P$ 和过原点的直线 $L$，其中 $L$ 不在 $P$ 内，若分别取 $P \cup L$ 中 $P$ 中的向量与 $L$ 中的向量相加，则结果不在 $P \cup L$ 中，因此 $P \cup L$ 不是子空间。

列空间(Column space)

• 矩阵 $A$ 的所有列向量的线性组合构成一个线性空间，称为 $A$ 的列空间，记为 $C(A).$

• 由此可知，线性方程组 $Ax=b$ 有解当且仅当 $b$ 在 $A$ 的列空间中，也即是当且仅当 $b$ 是 $A$ 的列向量的线性组合。

• 显然，列空间是线性空间。

零空间(Nullspace)

• 方程组 $Ax=0$ 的所有解 $x$ 的集合称为 $A$ 的零空间，记为 $N(A).$

• 零空间也是线性空间，因为若 $u,v \in N(A)$，则 $A(u+v)=Au +Av =0$，故 $u+v \in N(A)$，同理可知对数乘也封闭。

• 方程组 $Ax=b(b \neq 0)$ 的解构成的集合不是线性空间，因为其不含零向量（也可很容易地验证对加法和数乘不封闭）。

列空间和零空间是构造子空间的两种重要方法。

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）