麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 6 列空间和零空间

Introduction to Linear Algebra 线性代数导论

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html

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Lecture 6 列空间和零空间

这节我们进一步探讨向量空间。

首先看，一个${\mathbb R^3}$空间里有子空间平面$P$和直线$L$，则$P$和$L$的并集是否为子空间？交集呢？画个简单的图之后能轻易看出，$P\bigcup L$不满足加法运算封闭，不是子空间，而$P\bigcap L$满足。

扩展到更一般的情况，假设有子空间$S$和$T$，那么$S\bigcap T$是否为子空间？假设任取交集中的两个向量$\vec v$和$\vec w$，它们既属于$S$也属于$T$，那么$\vec v+\vec w$显然属于$S\bigcap T$——$S$和$T$加法运算封闭。假设用常数$c$和$\vec v$或$\vec w$相乘，那么$c\vec v$和$c\vec w$也属于$S\bigcap T$——$S$和$T$数乘运算封闭。

上述结论再一次强调了向量空间必须满足的两个条件：加法封闭和数乘封闭，它们合起来构成线性组合。

Column Space 列空间

已知矩阵$A= \left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{array} \right)$，列向量均为${\mathbb R^4}$中的四维向量，$C(A)$（$A$的列空间）是${\mathbb R^4}$的子空间，$C(A)$由$A$所有列的线性组合构成。

$\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{array} \right)$<=> $Ax=b$

下面，把这个问题和线性方程组联系起来：$Ax=b$是否对任意$b$都有解？答案是No。因为$Ax=b$有四个方程却只有三个未知数。通常情况下四方程三未知数是无解的，但我们现在要强调有解的特殊情况。这就衍生出第二个问题：什么样的$b$使方程组有解？

为解决这个问题，我们可以先把找$x$出来，反过来求$b$。而$A$的列空间包含所有$A$乘以任意$x$得到的向量。这个方法其实告诉了我们：当且仅当$b$是各列的线性组合（$b$在$C(A)$里）时，$Ax=b$才有解。

将$A$中的三列进行线性组合，是否每一列都对组合有所贡献？ 若是，则称它们independent 线性无关。否则，dependent 线性相关。

若移除$A$的第三列（可由前两列相加得到），其他两列组合仍能得到同样的列空间，因此是线性相关的。我们将前两列称为pivot columns 主列。当然也可以移除$A$的第一列或者第二列，关于主列的选取，我们优先考虑靠前的线性无关向量。

$A$的列空间可以描述为${\mathbb R^4}$中的二维子空间。

Null Space 零空间

零空间是一种完全不同的空间（稍晚些检验为什么零空间也满足两个运算封闭）。它不包含右侧向量$b$，它包含$Ax=0$中所有的解$x=\left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$。

$A$的零空间可以描述为${\mathbb R^3}$的子空间。

$\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$<=> $Ax=0$

$N(A)$（$A$的零空间）包含所有形如$\left( \begin{array}{ccc} c \\ c \\ -c \end{array} \right)$的向量，$c$为常数，易见零空间是${\mathbb R^3}$中穿过原点的直线。

• 证明： $Ax=0$的解构成一个子空间。<=> $Av=0$且$Aw=0$，则$A(v+w)=0$且$A(cv)=0$，$c$是常数。

  “We only live so long, we just skip that proof.” 人生苦短，证明就免了吧。=_= |||

关于向量空间的进一步探讨

假设$b=\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right)$，那么$Ax=b$的解构成子空间吗？答案显然是No。解中不包含$\vec 0$，连基本要求都达不到。画出图像可以看出所有解构成了一条不穿过原点的直线。

这节总共讨论了两种空间，同时也给出了构造子空间的两种办法。对于列空间，我们通过对列（向量）进行线性组合构建向量空间；对于零空间， 可以在一个方程组中，通过让$x$满足特定条件来得到子空间。