电路分析里的高等数学

本文未经允许，不得转载

电路分析里的高等数学

一元二次方程：

一元指的是只有一个未知说，二次指的是未知数的最高次是二次。总结下来的形式就是： $ax^{2}+bx+c=0$。该方程的解是： $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
由上面的公式可以看到，该方程是有两个根，但是当 $b^2-4ac$等于0时，前面的±号也就没了意义，此时实际上只有一个跟，当 $b^2-4ac$小于0时，会发生什么呢？这是要引入复数跟虚数的概念（下面的小标题）。我们看到，当 $b^2-4ac$小于0时会有两个复数解。

复数与虚数：

虚数 j 有一个特点： $j^2=-1$,复数就是实数与虚数的组合： $z=a+bj$。了解虚数及复数的概念对后面的论述有帮助。

二阶常系数微分方程：

二阶常系数微分方程的形式： $y^{''}+py^{'}+qy=f(x)$。
当 $f(x)=0$时，我们称该方程为二阶常系数齐次微分方程。下面解析一下二阶常系数微分方程的解法。
首先导出齐次微分方程 $y^{''}+py^{'}+qy=0$的特征方程： $r^2+pr+q=0$，也就是上面的一元二次方程。求出特征方程的跟即可得出微分方程的通解，要想得到解，还需要两个初始条件,例如： $y^{'}(0)=5$
$y(0)=6$

方程 $r^2+pr+q=0$的根	方程 $y^{''}+py^{'}+qy=0$ 的通解
$r_{1}≠r_{2}$	$y=C_{1}e^{r_{1}*x}+C_{2}e^{r_{2}*x}$
$r_{1}=r_{2}=r$	$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r*x}$
一对共轭副根 $r_{1}=a+bj$ $r_{2}=a-bj$	$y=e^{a*x}(C_{1}cosbx+C_{2}sinbx)$

举例假如有方程： $y^{''}-5y^{'}+6y=0$ 特征方程： $r^2-5r+6=0$解得： $r_{1}=2$ $r_{2}=3$那么微分方程的通解就是： $y=C_{1}e^{2*x}+C_{2}e^{3*x}$
如果此时要求出解，换需要知道y(0)的值以及y’(0)的值。
假设：
$y(0)=3$且 $y'(0)=8$
则：C1=1,C2=2。解就是：
$y=e^{2*x}+2e^{3*x}$

电路中的应用

我们先来看一下《电路》第5版教材里的一个例题：


这个题的解其实就用到了微分方程的知识：
上面电路的数学模型推导如下：

怎么样？上面的方程是不是很熟悉，按理说这个方程属于非齐次方程，但是要求其解，还得先求其对应齐次方程的特征方程： $r^2+200r+20000=0$
求得解为： $r_{1}=-100+100j$ $r_{2}=-100-100j$
对应微分方程的通解为： $i_{(t)}=e^{-100*t}(C_{1}cos100t+C_{2}sin100t)$
特解要看0是不是特征方程的根，上面的例子明显不是，那么其特解：
$i_{(t)}=A$
将 $y=A$带入微分方程:

得：20000A=20000。A=1
那么特解为： $i_{(t)}=1$
非齐次微分方程的解等于特解加对应齐次方程的解： $i_{(t)}=e^{-100*t}(C_{1}cos100t+C_{2}sin100t)+1$
将初始条件： $i_{(0)}=2$ $i'_{(0)}=u_{c}(0)=0$
带入解得： $C_1=1$ $C_2=1$
最后得出解：
$i_{(t)}=e^{-100*t}(cos100t+sin100t)+1$

参考文献：《电路》第5版 原著：邱关源 修订：罗先觉