高等数学：矩阵

一、矩阵概念

$${\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)}_{m\times n}$$
矩阵的行为m，列为n

只有矩阵中各元素均对应相等，矩阵才相等

二、矩阵的运算

矩阵的和： $C=A+B$ (相加的矩阵必须保证有相等的行数和列数)
$$A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]B_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]$$
$$c_{m\times n}=A_{m\times n}+B_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]$$

结合律： $A+(B+C)=(A+B)+C$

交换律： $A+B=B+A$

矩阵的乘法：
$$A=(a_{ik}{)}_{s\times n},B=(b_{kj}{)}_{n\times m},那么C=AB=(c_{ij}{)}_{s\times m}$$
$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{i1}+a_{2i}{b}_{i2}+...+a_{in}{b}_{nj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$
一句话明白：矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第一行与第二个矩阵B的第一列的对应元素的乘积

误区：

1. $AB\ne BA$
2. $AB=AC$ 不一定$\Rightarrow B=C$

单位矩阵：主对角线上元素全是1，其余元素全为0的n×n矩阵
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$
称为n阶单位矩阵，记为 $E_n$

数量乘法：
$$kA=\left[\begin{array}{cccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& \cdots & k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& \cdots & k{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{m1}& k{a}_{m2}& \cdots & k{a}_{mn}\end{array}\right]$$
,A中每个元素都乘以k

转置（transform）：
$$A_{m\times n}={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]}_{m\times n}$$
$$A^{\top }={\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1m}& a_{2m}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right]}_{n\times m}$$
矩阵A的转置就是将A的行列互换

矩阵转置的规律：
$$\begin{gathered} (A^{\top }{)}^{\top }=A \\ (A+B{)}^{\top }=A^{\top }+B^{\top } \\ (AB{)}^{\top }=B^{\top }{A}^{\top } \\ (kA{)}^{\top }=k{A}^{\top } \end{gathered}$$

三、矩阵乘积的行列式与秩

定理1：设A，B是数域P上的两个 $n\times n$ 矩阵，那么

$\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|$ ，即矩阵乘积的行列式等于它因式的行列式的乘积

定理6：数域P上的 $n\times n$ 矩阵A称为非退化的，如果 $\left|A\right|\ne 0$ ；否则称为退化的。

定理2：设A是数域P上的 $m\times n$ 矩阵，B是数域P上的 $m\times s$矩阵，于是有：

秩（AB）$\le min[秩(A),秩(B)]$,即乘积的秩不超过各因式的秩

证明：只需证明 秩$(AB)\le 秩(A)$且$秩(AB)\le 秩(B)$
$$A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]B_{n\times s}=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1s}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{ns}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ ⋮\\ B_n\end{array}\right]$$

其中 $B_1,B_2...B_n$ 表示矩阵B的行向量， $C_1,C_2...C_m$ 表示矩阵AB的行向量
$$C_i=a_{i1}{B}_1+a_{i2}{B}_2+...+a_{in}{B}_n,i=1,\mathrm{2...}n$$
即矩阵AB的行向量可以由矩阵的B的行向量线性表出，所以

矩阵AB的秩不能超过矩阵A的秩（由结论“如果向量组1可由向量组2线性表出，那么向量组1的秩不超过向量组2的秩”得）

同理，将A写成列向量形式，也能得到矩阵AB的秩不能超过B的秩

综上所述：$秩（AB）\le min[秩（A）,秩（B）]$

推论：如果 $A=A_1{A}_2...A_n$那么，
$$r(A)\le min[r(A_1),r(A_2)...r(A_n)]$$

四、矩阵的逆（inv）

定义7：n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B使得 $AB=BA=E$， E 是单位矩阵

其中矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作 $B=A^{-1}$

逆矩阵的两种计算方法：

1）伴随矩阵：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$
求出A的伴随矩阵
$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$
($A_{ij}$矩阵A的代数余子式)
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=dE$$
$$\therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }(前提是|A|\ne 0)$$

2）初等矩阵：

(A,E)列变换和相应的行变换后得到$(E,A^{-1})$

举个例子：求
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 4\\ 2& -1& 0\end{array}\right)$$
的逆矩阵
$$(A,E)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 1& 2& 1& 0& 0\\ 1& 1& 4& 0& 1& 0\\ 2& -1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
经过一系列初等行列变换之后得到
$$(E,A^{-1})=\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 2& -1& 1\\ 0& 1& 0& 4& -2& 1\\ 0& 0& 1& -\frac{3}{2}& 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 4& -2& 1\\ -\frac{3}{2}& 1& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

推论：如果矩阵A，B可逆，那么 $A^{-1}$与AB也可逆 ，且
$$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$$
$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$
$$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}(k\ne 0)$$

五、初等矩阵

定义10：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

左乘行变换，右乘列变换

定义11：如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价

六、有关矩阵的解题技巧

１）$秩（A＋B）\le 秩（A）＋秩（B）$

２） $秩（AB）\le ｍｉｎ（秩（A），秩（B））$

３） $\left|kA\right|＝k^n|A|（Ａ为ｎ阶矩阵）$

４）A为三阶矩阵，$｜A｜＝２$
$$\left|{\left(２Ａ\right)}^{－１}－３{Ａ}^{＊}\right|=|\frac{1}{2}{A}^{-1}-3A^{\ast }|=|\frac{1}{2}{A}^{-1}-3|A|A^{-1}|=|-\frac{11}{2}{A}^{-1}|=(-\frac{11}{2}{)}^3\frac{1}{|A|}$$
5）设A是 $n\times n$矩阵，如果对任意一n维向量
$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$
都有 $AX=0，那么A=0$

证明：取
$$X=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$
或者
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$
或者
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$
带入计算得A中每一个元素都为0，即A为零矩阵

6）设B为 $r\times r$矩阵，C是 $r\times n$矩阵，且秩$（C）=r$，证明：

1.如果 BC= 0，那么B=0

2.如果 BC= C，那么B=E

证明：1） $\because r(C)=r$

不妨取C的极大线性无关组为 $C_1,C_2...C_r$
$$BC=0\Rightarrow B(C_1,C_2...C_r)=0$$
又 $(C_1,C_2...C_r)\ne 0$ ，可逆

所以，B=0

2）同1）可得 $BC=C\Rightarrow (B-E)(C_1,C_2...C_r)=0$

又 $(C_1,C_2...C_r)\ne 0$，可逆

所以，B=E

欢迎各位看官拍砖指正，有一些