高等数学---积分

1.原函数—定义

在区间I上，F(x)的导函数f(x)。
F(x)称为f(x)在区间I上的一个原函数。

2.不定积分—定义

在区间I上，f(x)带有任意常数项的原函数为f(x)在区间I上的不定积分。记∫f(x)dx。

3.不定积分求法

3.1.第一类换元法—可证明

f(u)有原函数，u = a(x)可导。
∫f(a(x))a’(x)dx = ∫f(u)du。

3.2.第二类换元法—可证明

x=a(t)是单调可导函数，a’(t)!=0,
f[a(t)]a’(t)具有原函数，
则有
∫f(x)dx = [∫f[a(t)]a’(t)dt] t = a^-1(x)// x的反函数

3.3.几个常用积分

∫tanxdx = -lnabs(cosx) + C
∫cotxdx = lnabs(sinx) + C
∫secxdx = lnabs(secx + tanx) + C
∫cscxdx = lnabs(cscx - cotx) + C
∫dx/(aa + xx)dx = 1/a * arctanx/a + C
∫dx/(xx - aa) = 1/2a lnabs((x - a) / (x+a)) + C
∫dx/sqrt(aa - xx) = arcsinx/a + C
∫dx/sqrt(xx + aa) = ln(x + sqrt(xx + aa)) + C
∫dx/sqrt(xx - aa) = lnabs(x + sqrt(xx - aa)) + C

4.有理函数的积分

两个多项式的商P(x) / Q(x)称为有理函数。
P(x)的次数小于Q(x)的次数时，称此有理函数为真分式。否则，为假分式。
有理函数的分解式最后只出现
多项式，P1(x)/(x - a)^k，P2(x) / (xx + px + q)^l [pp - 4q < 0, P1(x)为小于k次多项式，P2(x)小于2l次多项式]

5.定积分

5.1.定义

f(x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入若干个分点，a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b，把区间[a, b]分成n个小区间。
在每个小区间[x(i-1), xi]上任取一点c。
S = ∑ f©delXi i=1,2,…,n。

d = max(delx1, delx2, …, delxn)，
lim∑ f©delXi = A (d->0)。
又记做
∫f(x)dx [a->b]= lim∑ f©delXi = A (d->0)。

5.2.定理

定理1—可证明

f(x)在[a, b]上连续，在[a, b]上至少存在一个点c，使
∫f(x)dx [a->b] = f©(b - a)。

定理2—可证明

f(x)在[a, b]上连续，则 积分上限的函数
p(x) = ∫f(t)dt [a->x]
在[a, b]上可导，且它的导数
p’(x) = f(x) [a <= x <= b]。

定理3—可证明

f(x)在[a, b]上连续，
p(x) = ∫f(t)dt [a->x]
是f(x)在[a, b]上的一个原函数。

定理4—可证明

F(x)是连续函数f(x)在[a, b]上的一个原函数，则，
∫f(x)dx = F(b) - F(a) [a->b]

定理5—可证明

f(x)在区间[a, b]连续，x = a(t)满足：
a(t1) = a, a(t2) = b
a(t)在[t1, t2]（或[t2, t1]）有连续导数，值域[a, b]。
则，
∫f(x)dx [a->b] = ∫f[a(t)]a’(t)dt [t1->t2]

6.反常积分

6.1.定义1

f(x)在[a, 无穷大)上连续，如∫f(x)dx [a->无穷大]存在，则，∫f(x)dx [a->无穷大]收敛，称此极限为反常积分的值。如∫f(x)dx [a->无穷大]不存在，称∫f(x)dx [a->无穷大]发散。

6.2.定义2

f(x)在(-无穷大， b]连续，如∫f(x)dx [-无穷大, b]存在，称∫f(x)dx [-无穷大, b]收敛，称此极限为反常积分的值。如不存在，称其发散。

6.3.定义3

f(x)在(-无穷大， 无穷大)上连续，如∫f(x)dx [-无穷大, 0]与∫f(x)dx [0， 无穷大]均收敛，称∫f(x)dx [-无穷大, 无穷大]收敛。否则，称其发散。

关于函数在某点值不存在或为无穷大的反常积分定义略。

7.微分方程

7.1.一阶微分方程

1.可分解为
f(x)dx = p(y)dy类型的

2.可分解为
dy / dx = p(y/x)类型的。
令u = y/x可求解。

3.按如下形式的
dy/dx + p(x)y = 0
dy/dx + p(x)y = q(x) q(x)不是0
其解为：
y = Ce^-∫p(x)dx + e^-∫p(x)dx∫q(x)e^∫p(x)dxdx

7.2.高阶微分方程

1.按如下形式的
y⁽ⁿ⁾ = f(x)

2.按如下形式的
y’’ = f(x, y’)
令u = y’

3.按如下形式的
y’’ = f(y, y’)
令u = y’

7.3.线性微分方程的解的结构

定理1—不证明

对形如
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0
如y1(x)， y2(x)是其两个线性无关的特解，则
y = C1y1(x) + C2y2(x)
是其通解。

定理2—可证明

y^*(x)是y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)的一个特解。
Y(x)是y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0的通解。
则
y = Y(x) + y^*(x)是y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)的通解。

// 通解中任意常数个数和阶数一致

7.4.二阶常系数线性微分方程

y’’ + py’ + qy = 0

y = e^rx ，r为rr + pr + q = 0的解。
若r1!=r2，通解为 y = C1e^r1*x+C2e^r2*x
若r1=r2，通解为 y = C1e^r1*x+C2xe^r1*x
若r1=a + bi, r2 = a - bi，通解为 y = e^ax(c1cosbx + c2sinbx)。