概述
本章讨论积分学的另一个基本问题——定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法
本章包括定积分的概念与性质、微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法、反常积分、反常积分的审敛法
1、定积分的概念与性质
引入问题：曲边梯形的面积问题和变速直线运动的路程问题
抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括
- 定积分的定义：积分上限、积分下限、积分区间
定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关
如果函数在某闭区间上的定积分存在，那么就说该函数在该闭区间上可积
函数在闭区间上的定积分存（可积）在的充分条件：
- 定理1：连续则可积
- 定理2：有界且只有有限个间断点，则可积
定积分的几何意义：分为三种情况，其实都是面积的问题
使用定义法求定积分好麻烦
定积分的近似计算
- 矩形法：两个公式
- 梯形法：
- 抛物线法：
定积分的性质
对于定积分的两点补充规定：
- 积分的上下限相等的时候，定积分的值为0
- 交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反
对于各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制，并假定各性质中所列出的定积分都是存在的
- 性质1：和的定积分等于定积分的和，常数可以提到积分号之前
- 性质2：定积分对于积分区间具有可加性（根据定积分的第二个补充规定，不论积分限的相对位置如何，该性质都成立）
- 性质3：函数在该区间上恒为1，那么定积分的值为上限和下限之差
- 性质4：如果在该区间上被积函数一直大于等于0，那么定积分的值也大于等于0（积分限上大下小）
- 推论1：
- 推论2：
- 性质5：由函数在该区间上的最大最小值可以估计定积分值的大致范围
- 性质6（定积分中值定理）：其实可以证明那个值是在闭区间内的
积分中值公式的几何解释
2、微积分基本公式
通过定义法来计算定积分太麻烦，通过微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）来计算定积分会简单很多
积分上限的函数
- 定理1：如果函数在某闭区间上
连续，那么积分上限的函数在该闭区间上可导，并且它的导数就是该函数
连续函数取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为该函数本身
- 定理2（原函数的存在定理）：如果一个函数在某闭区间上
连续，那么该函数的积分上限的函数就是该函数的一个原函数
这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的关系。因此，就有可能通过原函数来计算定积分
- 定理3（微积分基本定理）：
牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本公式）进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，该公式为定积分的计算提供了一个有效而简单的计算方法
注意：微积分基本公式中的原函数必须是函数在该积分区间上的原函数
3、定积分的换元法和分部积分法
换元积分法和分部积分法可以求不定积分，那么在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分
定积分的换元法的定理：说的是第二类换元法，需要满足诸多前提条件
在使用换元法求定积分的时候需要注意：
- 代换变量时，相应的积分限也应该改变
- 积分完成后，不需要再变换为原来的x了，直接将上下限代入相减即可
将换元公式反过来使用，就是第一类换元法
在使用第二类换元法的时候，如果没有明显写出变量代换，那么定积分的上、下限就不要变更了
定积分的分部积分公式
证明积分公式的例题有必要看吗？？？
4、反常积分
在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分。这些知识不属于定积分。所以需要对定积分进行推广，进而形成了反常积分的概念
三种无穷限的反常积分，还有收敛和发散的概念
在做题的时候再记忆书写方法和一些细节问题
如果函数在点a的任一邻域内都是无界的，那么点a称为函数的瑕点（也称为无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分
三种无界函数的反常积分
在做题的时候再记忆书写方法和一些细节问题
两种反常积分混在一起，需要使用单调的换元函数进行代换，看本节最后一个例题
5、反常积分的审敛法
反常积分的收敛性，可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限的存在与否来判定。本节中我们来建立不通过被积函数的原函数的极限判定反常积分收敛性的判定法
无穷限的反常积分的审敛法
需要借助于上一节的例3和上一节的例6的结论
所有这些定理的前提都是函数在相应的区间上连续
- 定理1：
- 定理2（比较审敛原理）：
- 定理3（比较审敛法1）：不需要求极限，该定理要求a大于0
- 定理4（极限审敛法1）：需要求极限
- 定理5（函数值可为正也可为负）：绝对收敛的无穷限的反常积分必定收敛
- 定理6（比较审敛法2）：不需要求极限
- 定理7（极限审敛法2）：需要求极限
对于无界函数的反常积分，也有与定理5类似的结论
一个特殊的函数及其诸多有意思的性质