| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [1] |
幂级数在上的和函数是_____． |
| 答： |
6 |
| 答案： |
ln(1+x) |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [2] |
设函数，则_____． |
| 答： |
3 |
| 答案： |
答：xy|xx|yy |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [3] |
设D是Oxy平面上以三点（0,0）、（1,0）和（0,1）为顶点的三角形区域，则由二重积分的几何意义知=____． |
| 答： |
0 |
| 答案： |
答：6分之1 |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [4] |
指出下列微分方程的阶数： （1）； （2）. |
| 答： |
|
| 答案： |
一阶|二阶 |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [5] |
函数的正弦级数在处收敛于____． |
| 答： |
0 |
| 答案： |
-1.5 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：3分 |
|
| [6] |
用比较审敛法判别级数的收敛性. |
| 答： |
比较级数要选好.你这个选错了. 一般证收敛,和收敛级数比较 证发散用发散级数. 这个应该用1/n来比较 你用1/(1+n2)来比,不行, 强级数收敛,弱级数未必收敛. |
| 答案： |
该级数的一般项为，其中，故该级数收敛 . 答：2|收敛 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [7] |
将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间 . |
| 答： |
f=(x-2)^(-2) f'=-2(x-2)^(-3) f"=3!(x-2)^(-4) .. f'n=(-1)^n*(n+1)!(x-2)^(-n-2) f'n(0)=(-1)^n* (n+1)!(-2)^(-n-2)=(n+1)!/2^(n+1) f(x)=1/4+2!/2^3 x+3!/2!2^4x^2+4!/3!2^5x^3. =1/4+(2/2^3)x+(3/2^4) x^2+(4/2^5) x^3+...+[(n+1)/2^(n+2)] x^n+... 收敛区间为：-2 |
| 答案： |
易知，令代入上式得，因此 ， . 答：指数展开|变量代换|实数空间 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：3分 |
|
| [8] |
计算二重积分其中是由及围成的区域． |
| 答： |
曲线y=√x与直线y=x的交点为(0,0)和(1,1) 于是积分区域D={(x,y)|y2≤x≤y, 0≤y≤1} 从而原式=∫[0,1]siny/ydy∫[y2,y] 1 dx =∫[0,1] sinydy-∫[0,1]ysinydy =1-cos1-[-cos1+sin1] =1-sin1 |
| 答案： |
易得，故 ． 答：累次积分|1-sin1 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：3分 |
|
| [9] |
计算曲面积分,其中为三坐标平面及平面，，所围成的正方体表面的外侧． |
| 答： |
P=y-z Q=0 R=x+y+z ?P/?x=0 ?Q/?y=0 ?R/?z=1 ∫∫（x+y+z)dxdy+(y-z)dydz=∫∫∫(?P/?x+?Q/?y+?R/?z)dv=∫∫∫dv=1 |
| 答案： |
积分|1 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [10] |
求微分方程的通解 . |
| 答： |
y”=y'+x y”-y'=x 齐次的特征方程 r^2-r=0 r=1,r=0 齐次通解 y=C1e^x+C2 设特解为 y=ax^2+bx+c y'=2ax+b y''=2a 代入得 2a-(2ax+b)=x 2a=-1,2a-b=0 a=-1/2,b=-1 C待定 所以特解是 y=-1/2x^2-1x+C 因此非齐次通解是 y=C1e^x+C2-1/2x^2-1x+C |
| 答案： |
令，则，于是有，令，，则，于是有，故原微分方程的通解为 . 答：变量代换|线性方程 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [11] |
计算对坐标的曲线积分，其中C为直线从点（0,0）到点（1,1）的线段 . |
| 答： |
y=√(2x-x^2) x=1-√(1-y^2) y'=(1-x)/√(2x-x^2) ds=√(1+(y')^2) dx=dx/√(2x-x^2) 所以dx=√(2x-x^2) ds 原积分=∫Pdx+Qdy=∫Pdx+Q*y'dx=∫(P+Q*y')dx=∫[P+Q*(1-x)/√(2x-x^2)] √(2x-x^2) ds =∫[P√(2x-x^2)+Q(1-x)] ds |
| 答案： |
由可得，故． 答：y=x|三分之一 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [12] |
求微分方程的通解． |
| 答： |
设y'=p,则y''=pdp/dy ∴p(ydp/dy-p)=0 ∴ydp/dy-p=0 ∴dp/p=dy/y ∴y'=C1y ∴y=C2e^(C1x) (C1,C2是积分常数) 故通解是y=C2e^(C1x). |
| 答案： |
变量代换|分离变量|e的x次方 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：3分 |
|
| [13] |
用比值审敛法判别级数的收敛性. |
| 答： |
这个用比值审敛法，得到的极限是1，不行的。用比较审敛法： lim(n→∞)[1/(lnn)^p]/(1/n) = {lim(n→∞)[n^(1/p)]/lnn}^p 而 lim(n→∞)[n^(1/p)]/lnn = lim(x→+∞)[x^(1/p)]/lnx (0/0) = (1/p)*lim(x→+∞)[x^(1/p)] = +∞， 因此 lim(n→∞)[1/(lnn)^p]/(1/n) = 0， 据比较审敛法，知该级数发散。 对∑(2^n)/n! 则an=(2^n)/n! 因为a(n+1)/an=[(2^(n+1))/(n+1)!]/[(2^n)/n!]=2/(n+1) 所以lim[a(n+1)/an]=lim[(2^(n+1))/(n+1)!]/[(2^n)/n!]=lim[2/(n+1)]=0 |
| 答案： |
，故该级数发散. 答：大于1|发散 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [14] |
计算三重积分，其中． |
| 答： |
设稳定的、不可压缩的流体的速度场为 v(x，y，z)=xzi+z2yj+y2zk， ∑是圆柱面x2+y2=1的外侧被平面z=0，z=1及x=0截取的位于第一、四卦限的部分，计算流体流向∑指定一侧的流量Φ． |
| 答案： |
设，由积分区域的对称性可知
． 答：对称性|球面坐标|a的4次方 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [15] |
求旋转抛物面z=x2+y2及平面z=1所围成的质量均匀分布的物体的形心． |
| 答： |
3H/4 |
| 答案： |
对称性|3分之PI |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [16] |
设有三个力，，，求合力的模与方向余弦． |
| 答： |
设与三个坐标轴的夹角为：a、b、c,因3个角相等,故：cosa=cosb=cosc 而：cosa^2+cosb^2+cosc^2=1,故：cosa^2=1/3,即：cosa=sqrt(3)/3或-sqrt(3)/3 即方向余弦：cosa=cosb=cosc=sqrt(3)/3或cosa=cosb=cosc=-sqrt(3)/3 |
| 答案： |
易得，故，，，． 答：向量和|内积 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [17] |
计算曲面积分，其中为球心在坐标原点，半径为1的下半球面． |
| 答： |
那个积分，把x加y分开看，看成是一个带x的积分加上一个带y的积分对于那个带x的积分，由于积分域关于y轴对称，而被积函数（就是x了）是关于x的奇函数，所以它的值为零同理，对于带y的积分，由于积分域关于x轴对称，而被积函数（y）是关于y的奇函数，所以它的值为零所以两个加起来值还是零 （1）由（x-a）^2+(y-b) ^2+(z-c) ^2=R^2 ,要加一个平面z=c 取下侧面,才能用高斯公式 原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=【3×（4/3）（πR^3）】/2=2πR^3 （这里就是计算半个球的体积） 然后再减去Z=C这个曲面积分的值 ,而∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy =（因为向另外两个坐标面投影时值为0）=∫∫zdxdy（注意它是曲面积分）=-c∫∫dxdy(注意它是二重积分了,因为曲面是下侧,所以取负号)=-2cπR^2 最后就是求这个曲面圆的面积而已 j结果就是-c∫∫dxdy=-cπR^2 |
| 答案： |
易知在Oxy平面上的投影为，又，，于是有，所以． 答：单位圆|PI |
| 【题型：综合】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [18] |
某工厂生产某种产品的数量S（单位：吨）与所用的两种原料A,B的数量x，y（单位：吨）的关系为S=0.005x2y．现准备向银行贷款150万元购进原料，已知A,B两种原料每吨的价格分别为1万元和2万元，问：怎样购进两种原料才能使产品的产量最大？ |
| 答： |
构造 L(x,y,l) = .005x^2.y - l(x + 2y-150) 对x偏分得到 .01 x.y - l = 0 对y偏分得到 .005 x^2 -2l = 0 对l偏分得到 x + 2y = 150 所以 y = (150 -x)/2 另外, l = .005x^2/2 带入第一式解得 x = 100 y = 25. p(x,y) = 1250 |
| 答案： |
目标函数，约束条件，拉格朗日函数，则有，，解方程组得可疑的极值点，根据实际问题考虑，最大产量必存在，此时应购进100吨A种原料和25吨B种原料． |
| 【题型：综合】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [19] |
已知曲线过原点，且在原点处的切线平行于直线，又满足微分方程，求此曲线的方程． |
| 答： |
y=y(x)经过原点,y(0)=0 直线2x+y+6=0的斜率-2,y’(0)=-2 方程y''-2y'+5y=0的特征方程r^2-2r+5=0 根1+i和1-i y=e^x(C1cosx+C2sinx) y(0)=0,C1=0 y=e^xC2sinx y'=C2e^x(sinx+cosx) y’(0)=-2 C2=-2 y=-2sinxe^x |
| 答案： |
易得，，令，则，代入原方程得，分离变量得，两边同时积分得，由，得，故可化为 |
| 【题型：综合】【分数：5分】 得分：3分 |
|
| [20] |
计算曲面积分,其中为三坐标平面及平面，，所围成的正方体表面的外侧． |
| 答： |
P=y-z Q=0 R=x+y+z ?P/?x=0 ?Q/?y=0 ?R/?z=1 ∫∫（x+y+z)dxdy+(y-z)dydz=∫∫∫(?P/?x+?Q/?y+?R/?z)dv=∫∫∫dv=1 |
| 答案： |
高斯公式|1 |
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [21] |
设是线性非齐次微分方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则在下列函数中仍为原方程的解是 （ ） A． B． C． D．前三者都不是 |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
|
|
| 答案： |
A |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [22] |
若级数，均发散，则 （ ） A．发散 B．发散 C．发散 D．发散 |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
|
|
| 答案： |
B |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：3分 |
||
| [23] |
设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛半径为 （ ） A． B． C． D． |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
B |
|
| 答案： |
B |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [24] |
设函数有连续的偏导数，且是某个函数的全微分，则应满足（ ） A． B． C． D． |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
|
|
| 答案： |
D |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：3分 |
||||
| [25] |
设为双曲线从点到点的一段弧，则 ( ) A． B． C． D． |
|||
|
|
A |
|
||
|
|
B |
|
||
|
|
C |
|
||
|
|
D |
|
||
| 答： |
B |
|||
| 答案： |
B |
|||
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
||||
| [1] |
设是圆柱面介于，之间部分的外侧，则 ． |
|||
| 答： |
|
|||
| 答案： |
0 |
|||
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [2] |
已知两点(z>0)间的距离为11，则_____． |
| 答： |
|
| 答案： |
7 |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [3] |
函数的正弦级数在处收敛于____． |
| 答： |
|
| 答案： |
-1.5 |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [4] |
函数的极大值点是_______． |
| 答： |
|
| 答案： |
(0,0) 答：原点 |
| 【题型：填空】【分数：2分】 得分：0分 |
|
| [5] |
微分方程的通解是____． |
| 答： |
|
| 答案： |
答：e的x次方|e的y次方 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [6] |
计算三重积分，其中． |
| 答： |
|
| 答案： |
设，由积分区域的对称性可知
． 答：对称性|球面坐标|a的4次方 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [7] |
求旋转抛物面z=x2+y2及平面z=1所围成的质量均匀分布的物体的形心． |
| 答： |
|
| 答案： |
对称性|3分之PI |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [8] |
求微分方程的通解 . |
| 答： |
|
| 答案： |
所给微分方程的特征方程为，解得，，由于两根为不相等的虚根，因此原微分方程的通解为. 答：特征方程|cosx|sinx |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [9] |
计算 I= . |
| 答： |
|
| 答案： |
令，，则，故该曲线积分与路径无关， ． 答：路径无关|4 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [10] |
计算曲线积分，其中是上由点至点的上半圆周． |
| 答： |
|
| 答案： |
积分|2PI |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [11] |
将函数分别展开成正弦级数． |
| 答： |
|
| 答案： |
，， 因此的正弦级数为（）（）． 答：奇延拓|傅里叶系数 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [12] |
设函数，求． |
| 答： |
|
| 答案： |
易得，因此． 答：复合函数求导|1 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [13] |
计算曲面积分，其中为球面的外侧． |
| 答： |
|
| 答案： |
令，，，则，，，故
． |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [14] |
求微分方程的通解. |
| 答： |
|
| 答案： |
令，则，，代入原方程得，分离变量得，两边同时积分得即，故原方程的通解为. 答：齐次方程|变量代换 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [15] |
将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间 . |
| 答： |
|
| 答案： |
易知，令代入上式得，因此 ， . 答：指数展开|变量代换|实数空间 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [16] |
计算曲面积分，其中是曲面的上侧． |
| 答： |
|
| 答案： |
由可得，故 ． 答：极坐标|0 |
| 【题型：计算】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [17] |
用比较审敛法判别级数的收敛性. |
| 答： |
|
| 答案： |
该级数的一般项为，其中，故该级数收敛 . 答：2|收敛 |
| 【题型：综合】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [18] |
求级数的收敛区间. |
| 答： |
|
| 答案： |
比值|极限 |
| 【题型：综合】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [19] |
证明以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形． |
| 答： |
|
| 答案： |
易得，，，于是有， ，，又，由此可得是等腰直角三角形． 答：两点间距离|勾股定理 |
| 【题型：综合】【分数：5分】 得分：0分 |
|
| [20] |
计算曲面积分,其中为三坐标平面及平面，，所围成的正方体表面的外侧． |
| 答： |
|
| 答案： |
令，，，则． 答：高斯公式|1 |
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [21] |
微分方程的通解为 （ ） A． B． C． D． |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
|
|
| 答案： |
D |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [22] |
函数在点（0,0）处 （ ） A．连续 B．不连续 C．可微 D．偏导数存在 |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
|
|
| 答案： |
A |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [23] |
若极限，则级数 （ ） A．收敛且和为 B．收敛且和为 C．收敛且和为0 D．发散 |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
C |
|
| 答案： |
A |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：3分 |
||
| [24] |
下列曲面中经过原点的曲面是 （ ） A． B． C． D． |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
C |
|
| 答案： |
C |
|
| 【题型：单选】【分数：3分】 得分：0分 |
||
| [25] |
微分方程的通解是 （ ） A． B． C． D． |
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
D |
|
| 答： |
C |
|
| 答案： |
B |
|