高等数学——无穷级数

概述

无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题

本章包括常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法、幂级数、函数展开成幂级数、函数的幂级数展开式的应用、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质、傅里叶级数、一般周期函数的傅里叶级数

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1、常数项级数的概念和性质

人们认识事物在数量方面的特征，往往有一个由近似到精确的过程。在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题

一般地，如果给定一个数列$u_1,u_2,u_3,\cdots,u_n,\cdots,$那么由这数列构成的表达式$u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots$叫做常数项无穷级数（简称常数项级数），记为$\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i$，其中$u_n$叫做级数的一般项

常数项级数的前$n$项的和$s_n=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n=\sum\limits_{i=1}^{n}u_i$，$s_n$称为级数的部分和。当$n$依次取$1,2,3，\cdots$时，它们构成一个新的数列（称为级数的部分和数列）。根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念

级数的部分和数列$\{s_n\}$如果有极限$s$，那么称无穷级数$\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i$收敛，这时极限$s$叫做这个级数的和，且$s=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots$

当级数收敛时，部分和$s_n$是级数的和$s$的近似值，它们之间的差值为$r_n=s-s_n$叫做级数的余项。用近似值$s_n$代替和$s$所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是$|r_n|$

级数与数列（部分和数列）有着紧密的联系。给定级数就有与之对应的部分和数列；反之，给定数列，就有以该数列为部分和数列的级数

按定义，级数与部分和数列同时收敛或同时发散（就是这么定义的）。如果收敛，则有$\sum\limits_{i=1}^{\infty}u_i=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}u_i$

$\sum\limits_{i=0}^{\infty}aq^i$叫做等比级数（又称为几何级数），其中$a\neq0$，$q$叫做级数的公比。等比级数在公比$|q|<1$时收敛，在公比$|q|\geq1$时发散

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收敛级数的基本性质（要多看）

• 性质1：乘以某个常数
• 性质2：两级数相加或减
• 性质3：去掉级数中的有限项，不会影响收敛性
• 性质4：对级数加括号，不会影响收敛性
• 性质5（级数收敛的必要条件）：

调和级数：$\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}$，是发散的

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柯西审敛原理

注意这里的柯西审敛原理和数列的柯西极限存在准则的关系

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2、常数项级数的审敛法

正项级数及其审敛法

一般的常数项级数，它的各项可以是正数、负数或零

各项都是正数或零的级数被称为正项级数

许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题

• 定理1（正项级数的一个基本的审敛法）：正项级数$\sum\limits_{n= 1}^{\infty}u_n$收敛的充分必要条件是：它的部分和数列${s_n}$有界。
• 定理2（比较审敛法）：通过比较正项级数的一般项来判断级数的收敛性

级数的每一项同乘不为零的常数$k$以及去掉级数前面部分（不仅仅是前面部分，这里只用到了前面部分）的有限项不会影响级数的收敛性（由此得出定理2的推论）

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$p$级数（其中$p>0$）：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\cdots+\frac{1}{n^p}+\cdots$

$p$级数当$p>1$时收敛，当$p\leq1$时发散

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• 定理3（比较审敛法的极限形式）：一般项比值的极限

极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它们的一般项作为无穷小量的阶

审敛：判断发散还是收敛。函数不说是否收敛，只有数列和级数才说是否收敛

用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数$\sum\limits_{n= 1}^{\infty}v_n$作为比较的基准。最常选用作为基准级数的是等比级数和$p$级数

将所给正项级数与等比级数比较，可以得到在实用上很方便的比值审敛法和根值审敛法

• 定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）：
• 定理5（根值审敛法，柯西判别法）：

将所给正项级数与$p$级数作比较，可得在实际应用上较方便的极限审敛法

• 定理6（极限审敛法）：

怎么适当的选取合适的审敛法？？？？？？

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交错级数及其审敛法

交错级数：各项是正负交错的（不含有零）

• 定理7（莱布尼茨定理）：

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绝对收敛与条件收敛

一般的级数的各项为任意实数。如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$各项的绝对值所构成的正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$收敛，那么称级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$`绝对收敛`；如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，而级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散，那么称级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛

• 定理8：如果级数绝对收敛，那么该级数必定收敛

对于一般的级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$，如果用正项级数的审敛法判定级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$收敛，那么此级数收敛。这就使一大类级数的收敛性判定问题转化为了正项级数的收敛性判定问题

一般来说，如果级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$发散，我们不能断定级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$也发散。但是，如果我们是用比值审敛法或根值审敛法来判断级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$是发散的话，那么级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$必定发散。原因见p268

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绝对收敛级数的性质

绝对收敛级数有很多性质是条件收敛级数所没有的

• 定理9：绝对收敛级数具有可交换性

级数的乘法运算：

• 定理10（绝对收敛级数的乘法）：

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3、幂级数

函数项级数的概念

如果给定一个定义在区间$I$上的函数列$u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdots,u_n(x),\cdots,$那么由这函数列构成的表达式$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$称为定义在区间$I$上的函数项无穷级数（简称函数项级数）

函数项级数收敛点和发散点的定义

函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域

在收敛域上，函数项级数的和是$x$的函数$s(x)$，通常称$s(x)$为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域

函数项级数的部分和$s_n(x)$，在收敛域上有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n(x)=s(x)$，记$r_n(x)=s(x)-s_n(x)$，$r_n(x)$叫做函数项级数的余项（只有$x$在收敛域上，$r_n(x)$才有意义）

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幂级数及其收敛性

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓的幂级数，形如$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，其中的常数叫做幂级数的系数

一般的幂级数的收敛域是一个区间

• 定理1（阿贝尔定理）：
• 推论：

幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域定义

幂级数的收敛半径的特例

• 定理2（求幂级数的收敛半径）：其中系数必须是相邻两项的系数

注意例4、例5

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幂级数的运算

加、减、乘（柯西乘积）、除

前三个运算都在较小的收敛区间内成立

除运算后得到的幂级数的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多

幂级数的和函数的性质：

• 性质1（连续性）：
• 性质2（可积性）：
• 性质3（可导性）：幂级数的和函数在其收敛区间内具有任意阶导数

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4、函数展开成幂级数

在实际应用中，常遇到的问题是：给定函数$f(x)$，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数$f(x)$。

函数$f(x)$在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了函数$f(x)$

假设函数$f(x)$在点$x_0$某邻域$U(x_0)$内能展开成幂级数，那么该幂级数（称为泰勒级数）必为

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$$ 该函数的展开式（称为 泰勒展开式）为 $$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x\in U(x_0)$$

由上述可知，函数$f(x)$在$U(x_0)$内能展开成幂级数的充分必要条件是泰勒展开式成立，也就是泰勒级数在$U(x_0)$内收敛，且收敛到$f(x)$

• 定理1（泰勒展开式成立的条件）：泰勒公式中的余项$R_n(x)$的极限为零

如果上述公式中的$x_0=0$，那么就会有相应的麦克劳林级数和麦克劳林展开式（只是泰勒展开式的特例而已）

泰勒展开式是将函数展开成$(x-x_0)$幂级数，麦克劳林展开式是将函数展开成$x$幂级数

函数的直接展开的方法是有套路的：p283

直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事

间接展开的方法是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数。这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项

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$$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n,(-\infty<x<+\infty)$$
$$\sin x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},(-\infty<x<+\infty)$$
$$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,(-1<x<1)$$
$$\ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n},(-1<x\leq1)$$
$$\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},(-\infty<x<+\infty)$$

这五个幂级数展开式是最常用的

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关于级数的起始问题，不是很重要，只要能正确表示级数即可

例6太复杂了（直接展开法）

二项展开式：p289

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5、函数的幂级数展开式的应用

近似计算

截断误差和舍入误差

在展开式有效的区间上，尽量选用收敛较快的级数来进行近似计算

多取一位，然后再进行四舍五入

利用幂级数还可以计算一些定积分的近似值。如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值了

幂级数在收敛区间内逐项可积

一个收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少（一个解题技巧）

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微分方程的幂级数解法

该解法可用于一阶微分方程和二阶齐次线性微分方程

都是套路

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欧拉公式

复数项级数的收敛、和、绝对收敛等概念的定义

如果复数项级数绝对收敛，则其实部或虚部构成的级数也绝对收敛，从而复数项级数收敛

欧拉公式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的联系

复变量指数函数的意义

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6、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

对于幂级数来说，无穷多个连续函数的和$s(x)$仍然是连续函数，无穷多个函数的导数及积分所组成的级数的和仍然分别是它们所组成的级数的和函数的导数及积分

对于什么级数，能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？？？？？（这需要引入函数项级数的一致收敛性概念）

• 一致收敛的定义（与一致连续性对比记忆）：

一致收敛既可指函数项级数，也可指（部分和）函数序列

一致收敛与收敛的关系？？？？？？？？

一致收敛性与所讨论的区间有关

• 定理（魏尔斯特拉斯判别法）：判断一致收敛性的较为方便的方法

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一致收敛级数的基本性质

• 定理1（连续性）：
• 定理2（积分性）：
• 定理3（可导性）：级数一致收敛并不能保证可以逐项求导，因为还有很多前提条件

幂级数的一致收敛性（幂级数是特殊的函数项级数），对比记忆即可

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7、傅里叶级数

由三角函数组成的函数项级数叫做三角级数

本节研究如何将函数展开成三角级数

三角级数 三角函数系的正交性

将周期函数展开成由简单的周期函数（例如三角函数）组成的级数具有明确的物理意义：把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐运动的叠加（其在电工学上的应用更加明显）

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi t}{l}+b_n\sin\frac{n\pi t}{l})$$ 上式右端称为 三角级数（有一个变形过程）

三角函数系：$1,\cos x,\sin x, \cos 2x,\sin 2x, \cdots,\cos nx,\sin nx,\cdots,$在区间$[-\pi,\pi]$正交，即在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间$[-\pi,\pi]$上的积分等于零

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函数展开成傅里叶级数

一个定义在$(-\infty,+\infty)$上周期为$2\pi$的函数$f(x)$，如果它在一个周期上可积，那么一定可以作出$f(x)$的傅里叶级数。然而，函数$f(x)$的傅里叶级数是否一定收敛？如果收敛，它是否一定收敛于函数$f(x)$？

一个函数可以作出傅里叶级数与其可以展开成傅里叶级数是不同的概念

傅里叶系数公式如下：

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx,(n=0,1,2,3,\cdots)\\b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx,(n=1,2,3,\cdots)$$

傅里叶级数如下：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),x\in C\\C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$$

函数满足什么条件可以展开成傅里叶级数？？？？？？

• 定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）

函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多

做题有一个套路p312

级数的和函数与原函数并不一定相同（在画图的时候要注意）

对局部定义的函数（该函数需要在原始定义区间内满足收敛定理的条件）进行傅里叶级数展开的时候，首先需要对其进行周期延拓

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正弦级数和余弦级数

奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数（都具有相应的公式）

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数（都具有相应的公式）

有时需要把局部定义的函数（该函数需要在原始定义区间内满足收敛定理的条件）展开成正弦级数或余弦级数：有一个套路p318

奇延拓和偶延拓

一些特殊级数的和p320

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8、一般周期函数的傅里叶级数

周期为$2l$的周期函数的傅里叶级数

更具普遍性

周期为$2l$的周期函数的傅里叶级数展开式：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}),x\in C\\a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx,(n=0,1,2,3,\cdots)\\b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx,(n=1,2,3,\cdots)\\C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}$$

当$f(x)$为奇函数或偶函数的时候，有更加简便的公式

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傅里叶级数的复数形式

傅里叶级数可以用复数形式表示，在电子技术中，经常这么用

傅里叶级数的复数形式如下：

$$f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}\\c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)dx\\c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}i}dx$$

傅里叶级数的两种形式本质上是一样的，但复数形式比较简洁，且只用一个算式计算系数