高等数学——导数与微分

微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分

本章包括导数概念、函数的求导法则、高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、函数的微分


1.导数概念

    微分学的基本概念——导数

    导数的定义:不再赘述

    因变量增量和自变量增量比值的极限存在,称为函数在某点处可导,否则,称为函数在某点处不可导。如果是由于极限为无穷大导致的不可导,为了方便起见,我们也称函数在该点处的导数为无穷大,本质上还是不可导

    幂函数的定义域与指数的选取有关

    比值的左极限和右极限称为左导数和右导数,左导数和右导数统称为单侧导数

    函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点处的左导数和右导数都存在且相等

    注意左导数和右导数的记法

    函数在某点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等

    函数在某个闭区间上可导:与函数在某个闭区间上连续对比理解

    切线斜率和法线斜率之间的关系

    在某点处的切线与过某点的切线是不一样的

    函数在某点可导,那么函数在该点必连续。函数在某点连续却不一定在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件


2.函数的求导法则

    利用基本初等函数的求导公式和基本的求导法则来对初等函数进行求导

    基本初等函数的求导公式和基本的求导法则要熟练使用

   

    函数的和、差、积、商的求导法则

        和、差、积的法则可推广到任意有限个可导函数的情形

   

    反函数的求导法则:注意该法则要求的前提条件

        反函数的导数等于直接函数导数的倒数


    复合函数的求导法则

        应用复合函数求导法则时,首先要分析所给函数可看作由哪些函数复合而成。

        复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形

       

3.高阶导数

    注意高阶导数的记法

    函数具有n阶导数,也常说成函数为n阶可导。如果函数在某点处具有n阶导数,那么函数在该点的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数

    若需要求函数的高阶导数公式,则需要在逐次求导过程中,善于寻求它的某种规律

    如果函数u及v都在点x处具有n阶导数,那么显然u+v及u-v也在点x处具有n阶导数

    莱布尼茨公式:两函数乘积的n阶导数公式,可以利用二项式定理帮助记忆


4.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

    等号左端是因变量的符号,而右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,有这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数

    一般的,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x取某区间内的任一值时,相应的总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数

    隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的。但实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来

    隐函数如果二阶可导,那么再求一步导,即可得到隐函数的二阶导数


    幂指函数的导数一般使用对数求导法来求:有两种方式p104


    有参数方程所确定的函数的导数

        有时消去参数是有困难的

        直接用公式(个人觉得应该满足使用条件才行)


    相关变化率问题:由一个变化率求另一个变化率


5.函数的微分

    函数微分的定义:不再赘述

   

    函数在某点处可微的充分必要条件是函数在该点可导

    公式多使用就会记住的


    函数在定义域中任意点的微分,称为函数的微分。函数的微分与x和deltax有关

    通常把自变量x的增量deltax称为自变量的微分

   

    函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数

   

    微分在几何上的意义:非线性函数的局部线性化(切点邻近部分)


    基本初等函数的微分公式与微分运算法则

        与导数公式和求导的运算法则联合记忆


    复合函数的微分法则:微分形式不变性


    微分在近似计算中的作用:利用微分可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替

        deltay、f(x0+deltax)、f(x)

    p118的五个近似公式

    其实这种近似代替,和等价无穷小很类似(不全是)

    如果开方次数较高,就更能体现出用微分进行近似计算的优越性


    误差估计:理清概念,多做几个题就可以了

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