实数：
如何根据有理数证明
实数的存在？ 戴德金分划
条件：将（实数轴）分划为A和B两部分，A<B
①A ∪ B = U
②A ∩ B = 空
将（实数轴）分划
实数的定义:
1.A中存在最大值，且B中不存在最小值——有理分划
2.A中不存在最大值，且B中存在最小值——有理分划
3.A中不存在最大值，且B中不存在最小值——无理分划
元素:
对元素个数比较：
势：集合元素的个数
等势：A,B的集合间元素可一一对应。
整数与自然数等势：希尔伯特旅馆
整数与有理数等势：列表一一对应
自然数个数少于实数个数： 反证法：假设自然数与实数一一对应，如果过程中出现逻辑错误，则不为等势
1.将(0,1)实数与全体实数一一对应，减少实数范围，更有利于证明
①将（0，1）轴首尾相连成园和实数轴进行连线，可看出一一对应
②arctan(x)
2.将自然数与（0，1）实数一一对应
1
0. a
1
a
2
a
3
a
4 … a，b为小数点位
2
0.
b
1
b
2
b
3
b4 …
3 .
4 .
5 .
…
3.找出逻辑错误：
构造出一个不在此序列的（0，1）上的实数x
引入中间变量来构造x：
0.
a
1
b
2
c
3
d4 ……
将中间变量修正：若某位≠1，则变为1
若某位等于1，则变为2
x=中间变量修正后。
x不在序列中。（反证法）
证明：设x在第N位，原始中间变量第N位与x的第N位是否相同？显然不同。
谬误→ x不在序列 → 自然数与实数不为等势
极限：
证明极限存在：
设函数
![]()
在点
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数
（无论它多么小），总存在正数
，使得当x满足不等式
时，对应的函数值
都满足不等式
，那么常数A就叫做函数
当
时的极限，记作 
在点
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数
（无论它多么小），总存在正数
，使得当x满足不等式
时，对应的函数值
都满足不等式
，那么常数A就叫做函数
当
时的极限，记作
两个重要极限：
极限定义导数:
泰勒展开：
罗尔定律：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
柯西中值定理：
洛必达法则：
x→ a 时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
x→ ∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
正态分布：
标准正态分布：
