高等数学9.2

2018.3.9
本来以为坚持使用最近的方法会有点吃不消，但后来一想，高数课一周才三节，这样的工作一周才做三次，也就没什么了。
怎么可能，不过这倒是提示我要以“有限性”来看待一些事物。
这是第一点。
第二点，写东西的时候尽量写真正有价值的东西。
不过什么样的东西才比较有价值呢？

多元函数的偏导数

在此之前还有一件事。
我们开始研究导数的思路应该是这样的：首先导数应该连续，只有连续的函数才谈它的增量。增量就要说到函数的变化——自变量的变化和函数值的变化。这就会产生有关“变化率”——变化的某种极限的问题。
研究变化率，这就是导数。
导数要看它的数值，这又需要极限的知识。
这个逻辑看上去要通顺多了。


导数：连续是前提，变化的极限。
研究偏导数主要靠的是“固定”的思想，有几个自变量，就有几个偏导数。

偏导数的几何意义

简单来说就是沿着某条自变量“固定”值的线在曲面上切一刀，切下的那条“线”的导数就是偏导数。

偏导数的运算

1.定义法
注意分段函数不一定能这么干。在分段点处，前后的对应法则不同，也不一定连续，根据定义无法得到函数
2.导数的加减法
3.导数的乘除法
4.复合函数求导
5.各种求导公式


说明两点：
A：二元函数的自变量是点，求“导数”的时候要整体代入。
B：偏导符号是一个整体几号，与dy/dx不同（参考pv=rt例题）
多元函数的偏导数存在性与连续的关系
结论：偏导数存在不代表函数的连续，函数连续也不一定说明偏导数存在
至于函数极限就更不用说了


判断连续要考虑“各种方式趋近”的问题，而偏导数的几何意义则只能说明有限方式的“可趋近”。

偏导数的多次求导

这部分没什么好说的，需注意一点：
定理：如果函数的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么该区域内这两个混合偏导数必相等。
初等函数的导数仍连续，连续仍求导。。。