高等数学--级数

1.定义

∑ui [i =1,…, 无穷大] 的部分和数列{sn}有极限s，即
limsn = s [n->无穷大]
称无穷级数收敛，否则，称发散。

2.级数收敛性判断

利用性质
收敛的话，一般项在n趋向无穷时为0。
利用定义的反证，可证明不收敛
利用定理

定理1—可证明

∑un [n+1, 无穷大]收敛的充分必要条件为，对任意给定的整数c，存在正整数N，使n>N时，对任意正整数p，有
|un+1 + un+2 + … + un+p| < c成立。

3.正项级数

部分和数列有界<—>收敛
比较审敛法–>单调有界必收敛
比值审敛法：—可证明
∑un 【n从1到无穷大】，为正项级数，如
limun+1/un = p [n->无穷大]
p<1，级数收敛
p>1，级数发散

比较审敛法的极限形式—可证明

根值审敛法—可证明
∑un 【n从1到无穷大】，为正项级数，如
limpow(un, 1/n) = p
p<1，级数收敛
p>1，级数发散

4.交错级数

∑(-1)^n-1un [n从1到无穷大]，满足：
un >= un+1 n=1,2,3,…
limun = 0 [n->无穷大]
则，级数收敛，其和s<=u1，其余项rn的绝对值|rn|<=un+1。

5.绝对收敛

如 ∑un [n从1到无穷大]绝对收敛，则，级数 ∑un [n从1到无穷大]必定收敛。—可证明
绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。—可证明
级数 ∑un [n从1到无穷大]和 ∑vn [n从1到无穷大]都绝对收敛，其和分别为s和q，则它们的柯西乘积也绝对收敛，且其和为s*q。—可证明

6.幂级数

∑anxⁿ [n从0到无穷大]

6.1.

定理—可证明
∑anxⁿ [n从0到无穷大]
如当x=x0(x0 != 0)时收敛，
则，适合不等式|x| < |x0|的一切x，使这幂级数绝对收敛。
如当x=x0(x0 != 0)时发散，
则，适合不等式|x| > |x0|的一切x，使这幂级数发散。

推论：
对幂级数存在收敛半径

定理—可证明【用于求收敛半径】
如
对级数 ∑anxⁿ [n从0到无穷大]，
lim|an+1/an| = p [n->无穷大]
则，这幂级数的收敛半径
R =
1/p p!=0
无穷大 p=0
0 p为无穷大

6.2.幂级数和函数的性质—未证明

1.∑anxⁿ [n从0到无穷大]的和函数s(x)在其收敛域I上连续。
2.∑anxⁿ [n从0到无穷大]的和函数s(x)在其收敛域I上可积，有逐项积分公式
[t从0到x] ∫s(t)dt = ∫[∑antⁿ]dt = ∑∫anxⁿdt ] = ∑an/(n+1) * xⁿ⁺¹ x属于I
3.∑anxⁿ [n从0到无穷大]的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导，且有逐项求导公式
s’(x) = (∑anxⁿ)’ = ∑(anxⁿ)’ = ∑nanx^n-1 |x| < R
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
反复应用可知，幂∑anxⁿ 的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内具有任意阶导数。

6.3.函数展开成幂级数

设f(x)在点x0的某邻域U(x0)内能展开成幂级数，即：
f(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)² + … + an(x - x0)ⁿ + …, x属于U(x0)。
有：
an = f⁽ⁿ⁾(x0) / n! (n=0,1,2,…)

定理—可证明
f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n->无穷大时的极限为0，即
limRn(x) = 0，x属于U(x0)，n->无穷大

欧拉公式：
e^x*i = cosx + i*sinx
cosx = (e^x*i + e^-x*i)/2
sinx = (e^x*i - e^-x*i)/2i

//##6/4.函数项级数的一致收敛性及其性质

7.傅里叶级数

7.1.三角级数 三角函数系

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, …, cosnx, sinnx, …
在区间[-pi, pi]上正交，指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-pi, pi]上的积分为0。

2.定理—未做证明
f(x)是周期为2*l的周期函数，如它满足
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点
则，f(x)的傅里叶级数收敛，且
x是f(x)连续点时，级数收敛于f(x)
x是f(x)间断点时，级数收敛于1/2 [f(x^-) + f(x⁺)]

f(x) = a0/2 + ∑(ancosnpix/l + bnsinnpix/l) [n从1到无穷大]x属于C。C = {x| f(x) = 1/2 [f(x^-) + f(x⁺)]}

an = 1/l ∫f(x)cosnpix/l dx [从-l 到 l]
bn = 1/l ∫f(x)sinnpix/ldx [从-l到l]