多元函数微分学
聚点：极限趋向的目标点
多元函数微分法还有一个方法是全微分形式不变
点集
极限
多元函数的极限是不能用列举法算出来的
一元函数只要算左右极限即可
第一种定义：定义域和去心邻域的交（所有路径都得算）
第二种定义就是去心邻域（只算能走的路）
考研用第一种定义
连续
偏导数
多元函数的可微
判别是否可微
多元函数微分法
全微分形式不变
这个公式非常重要，隐函数存在定理就是用的这个方法
F(x,y,z)可以看作x,y,z互不相干的变量，也就是作为中间变量123
多元函数隐函数
隐函数存在定理
F(x,y,z)中，x y z都是独立项，字母其实只是个符号，写成123也没问题
反解原函数
极值最值
费马定理的推广，见中值定理篇
为什么是必要条件，给出反例
多元函数极值的可疑点：偏导数全为0的点和偏导数不存在的点
无条件极值
无条件极值的证明
方法是使用泰勒公式推导出来的
需要用到施瓦兹定理：如果函数的二阶偏导数在一点处连续，那么它的二阶混合偏导数相等，也就是 f x y ′ = f y x ′ f'_{xy}=f'_{yx} fxy′=fyx′
预备知识足够了，接下来，就是证明过程
由泰勒公式展开拉格朗日余数到二阶偏导数
得到 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = g ( ξ , η ) f(x,y)-f(x_0,y_0)=g(ξ,η) f(x,y)−f(x0,y0)=g(ξ,η)
4B2-4AC<0才会有g(ξ,η)的值恒正或者恒负
简化之后就是AC-B2>0
A>0的时候开口向上，恒正，邻域的数比这个点的值大，极小值
A<0的时候开口向下，恒负，邻域的数比这个点的值小，极大值
（二次型Δ式子成立，A和C必定是同号的，换成C的符号判断也一样）
AC-B2<0时有正有负，必定不是极值
AC-B2=0时可能为0，0的时候引出了O(1)无穷小项，无穷小项的正负性在这个公式没有考虑，所以无法判别
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法证明
要解决的问题，已知空间中两个平面的方程(称为条件)
他们相交的部分是一条直线
求原点到这条直线的最小距离(称为目标函数)
约束条件用G函数和H函数表示
使用要求，目标函数和GH都在相交部分有连续偏导数
构造雅各比矩阵
τ ( 掏 ) = ( G x G y G z H x H y H z ) τ(掏)=\begin{pmatrix} G_x & G_y & G_z\\ H_x & H_y & H_z \end{pmatrix} τ(掏)=(GxHxGyHyGzHz)
使用要求，该雅各比矩阵在满足约束条件的点处是满秩的
引用知乎大佬对雅各比矩阵满秩的理解：rank为2，保证了F和G两个方程都提供了有用的信息，那么xyz之中只有一个自由度，如果rank为1，那么实际上只有一个有用的方程做约束，那么xyz之中有两个自由度，那么就没办法把其中两个变元作为第三个变元的函数。
应该就是要求GH两个函数的偏导数不全部线性相关
那么根据一些神秘的行列式定理，就存在两个约束条件消元后，得到y(x),z(x)
目标函数f(x,y,z)就转化为f[x,y(x),z(x)]
那么原先(x0,y0,z0)的条件极值点，就转化为了x0的无条件极值点
新的目标函数的导数就可以算了
因为是极值点，所以这一点导数为0
这一点导数又等于这一点的梯度（三个轴的导数加一起形成的向量）乘这一点的切向量
只有法向量乘切向量等于0
所以得出这一点的梯度是法向量
gradf(x0,y0,z0)，也就是这点的梯度，一定是在两个约束函数平面在该点的法向量张成的平面上的
那么gradf可以用这两个法向量线性表示
grad是三维向量，所以得到的是三个等式
二重积分
二重积分的几何意义
二重积分是曲顶柱体
微元是一个长宽都趋近于0的曲顶柱体
一重积分是长宽有一个趋近于0的扁曲顶柱体
普通对称性
轮换对称性
有点困惑的题目，为什么取小于号而不是小于等于，没讲清楚
到I3的时候已经等于0了
其实奇数次都等于0，偶数次都大于奇数次，偶数次内部可以比较
定义域
直角坐标系
极坐标系
什么题目适合选极坐标系
需要换积分次序的情况
画定义域D的图像，换积分次序
用二重积分处理一元积分的情况
综合运用《真题》
课上讲的方法。。用了对称性反而更难算了
我直接用极坐标系分段两边算出来答案一样。
常微分方程
基本概念
通解不是全部解
一阶线性
要给出通解中C的取值范围
完美解法，讨论除了通解的情况，如果也可以用通解的函数表达，也整合到C的取值范围里
高阶线性
什么是二阶？
最高阶数为2，而且系数为1
什么是变系数？
其他阶数的系数不再只是常数，也可能是x的函数
什么是线性？
所有阶数都是一次方的
齐次的通解是两个线性无关的解的线性组合
证明如下，援引汤家凤老师的证明
非齐次的通解是齐次的通解加上一个特解
证明如下，援引汤家凤老师的证明
汤家凤老师额外讲了一个性质，两个非齐次的特解相减，得到齐次的通解
两个非齐次的特解相加，结果的自由项等于两个非齐次方程的自由项相加
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
Δ等于0时，可以推导出来λ=-p/2
欧拉公式证明
相似三角形的辅助点是(1,0i)
此处使用了在x=0处展开的麦克劳林公式
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
因为非齐次的通解是齐次的通解加上一个特解，所以怎么找到一个特解就是要考虑的问题
第一种自由项
k就代表 α是齐次方程的几个特征根
第二种自由项
n阶
设解函数的方法（汤家凤）
