MIT_线性代数笔记_11_矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs
课程 11：矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

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矩阵空间

• 所有 $n \times n$ 维矩阵构成的线性空间称为矩阵空间，记为 $\mathbb{R}^{n \times n}.$

• 若记 $M$ 为所有 $3 \times 3$ 矩阵构成的矩阵空间，则所有的 $3 \times 3$ 对称矩阵构成的矩阵空间 $S$ 和 $3 \times 3$ 上三角矩阵构成的矩阵空间 $U$ 都是 $M$ 的子空间，显然他们的交也是 $M$ 的子空间，事实上，$S$ 与 $U$ 的交即为所有 $3 \times 3$ 对角矩阵构成的矩阵空间。但 $S \cup U$ 不是线性空间，因为对加法不封闭。
  定义 $S+U=\{\alpha + \beta | \alpha \in S, \beta \in U \}$，显然 $S+U$ 是 $M$ 的子空间，且 $S+U= M.$

• $\text{dim} M = 9, \text{dim} S = 6, \text{dim} (S+U) = 9, \text{dim} (S \cap U) = 3,$ 故
  

  $$\text{dim} S + \text{dim} U = \text{dim} (S+U) + \text{dim} (S \cap U).$$
  这就是维数公式。

秩1矩阵

• 任何一个秩矩阵都能写成 $A= uv^T$ 的形式，其中 $\text{rank} A = 1, u,v$ 均为列向量。
• 秩 $1$ 矩阵的集合不是线性空间，因为对加法不封闭（两个秩 $1$ 矩阵的和的秩可能为 $2$）。
• 任何一个秩为 $r$ 的矩阵都能写成 $r$ 个秩 $1$ 矩阵的和。

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