MIT_线性代数笔记_10_四个基本子空间

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 10: The four fundamental subspaces
课程 10：四个基本子空间

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四个基本子空间

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 维矩阵， $\text{rank}A=r.$

• 列空间

  • $A$ 的所有列向量生成的空间称为 $A$ 的列空间，记为 $C(A).$
  • 由于 $A$ 的每一列都是 $m$ 维列向量，因此 $C(A) \subset \mathbb{R}^m.$
  • $A$ 的列空间的维数为 $\text{rank}A=r$，$A$ 的任意 $r$ 个线性无关的列向量都是 $C(A)$ 的一组基。

• 零空间

  • $Ax=0$ 的解 $x$ 的集合称为 $A$ 的零空间，记为 $N(A).$
  • 由于 $x$ 是 $n$ 维列向量，因此 $N(A) \subset \mathbb{R}^n.$
  • $A$ 的零空间的维数为 $n- \text{rank}A = n-r$，也就是自由变量的个数，$Ax=0$ 的 $n-r$ 个特解（或称为基础解系）构成 $N(A)$ 的一组基。
  • 零空间与列空间维数的关系：
    $$\dim C(A) + \dim N(A) =n.$$

• 行空间

  • $A$ 的所有行向量张成的空间称为 $A$ 的行空间，也即是 $A^T$ 的所有列向量生成的列空间，也即是 $A^T$ 的列空间，记为 $C(A^T).$
  • 由于 $A$ 的每一行都是 $n$ 维向量，因此 $C(A^T) \subset \mathbb{R}^n.$
  • $A$ 的行空间的维数为 $\text{rank}A=r$，$A$ 的任意 $r$ 个线性无关的行都是 $C(A^T)$ 的一组基。
  • $A$ 的行空间与列空间的维数相等，都等于 $A$ 的秩，即
    $$\dim C(A^T) = \dim C(A) = \text{rank} A.$$
    这是因为矩阵的行秩等于列秩。
  • 初等行变换不改变行空间，但会改变列空间。

• 左零空间($A^T$ 的零空间)

  • $A^T$ 的零空间也称为 $A$ 的左零空间，记为 $N(A^T).$
  • 对于任意的 $y \in N(A^T)$，有 $A^T y=0$，取转置即得 $y^T A=0$，因此 $A$ 的左零空间即为 $y^TA=0$ 的解 $y$ 的全体，因此称为左零空间（$y$ 在左边，对比于零空间的 $x$ 在右边）。
  • 由于 $N(A^T)$ 中的每一个向量都是 $m$ 维列向量，因此 $N(A^T) \subset \mathbb{R}^m.$
  • $\dim N(A^T) = m-r$，那么如何求 $N(A^T)$ 的一组基？
    以
    $$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &1 \\ 1 & 1 & 2 &1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
    为例，对 $A$ 作初等行变换将 $A$ 化为简化行阶梯形式 $R$，记录变换所用的矩阵，即对 $(A,I)$ 作初等行变换，当 $A$ 变为简化行阶梯形式 $R$ 时，$I$ 就变成了变换所用的矩阵 $E$，即 $E(A, I) = (R, E)$，由此可得
    $$\begin{pmatrix} -1 & 2& 0\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &1 \\ 1 & 1 & 2 &1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}=R.$$
    注意到 $R$ 的最后一行为零，即
    $$(-1 , 0 , 1) A=(0, 0, 0, 0).$$
    因此可知 $(-1, 0, 1)^T \in N(A^T)$，又因为
    $$\dim N(A^T) = 3- \text{rank}A= 3-2=1$$
    因此，$(-1, 0, 1)^T$ 即为 $N(A^T)$ 的一组基。
    这就是求解 $N(A^T)$ 的一般步骤，即试着寻找一个产生零行向量的行组合。
  • 左零空间与行空间维数的关系：
    $$\dim N(A^T) + \dim C(A^T) =m.$$

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）