线性代数笔记10：实对称矩阵

对于实对称矩阵而言，特征值和特征向量都有特殊的性质。

定理

1. 实对称矩阵的特征值都是实数。

   $$\because \bar x^T Ax = \lambda \bar x^T x = \bar x^T \bar A^T x = \bar {(Ax)}^T x = \bar \lambda \bar x^T x$$
   $$\therefore (\lambda - \bar \lambda )\bar x^T x = 0$$

2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

   $$\because y^T Ax = \lambda y^T x = y^T A^T x = (Ay )^T x = uy^Tx$$
   $$\therefore (\lambda - u) y^T x = 0$$
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3. 任何实对称矩阵正交相似于对角阵，即存在正交阵$Q$，使得$Q^TAQ$为对角阵。

   因此，我们求一个实对称矩阵的特征值和特征向量，并将同一个特征值的多个特征向量进行正交化，对所有特征向量进行单位化，就得到了正交阵$Q$。

4. 谱分解：

   $$A = Q \Lambda Q^T = (q_1, ...,q_n)\begin{pmatrix}\lambda_1 & & \\ &... & \\ & & \lambda_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1^T\\... \\ q_n^T\end{pmatrix}$$
   $$\therefore A = \lambda_1 q_1 q_1^T + ... + \lambda_n q_n q_n^T$$

   注意：$P_j = q_jq_j^T$为投影矩阵，因此，任意实对称矩阵可以表示为秩为1 的投影矩阵的和。

5. Schur定理：任意一个复方阵$A$酉相似与上三角阵，即存在酉矩阵$U(\bar U^T U = U \bar U^T = I)$，使得$\bar U^T AU = T$为上三角阵。（酉矩阵类似于实数域中的正交阵）

其他结论

1. 设$A$是$n$阶实对称矩阵，$\lambda_1,...,\lambda_n$为$A$的全部特征值，则存在实数$c > 0$满足对于任意的$x,|x^TAx| \le cx^Tx$。
2. 设$\lambda_{max}$是实对称矩阵$A$的最大特征值，则$A$的对角线元素$a_{ii} \le \lambda_{max}$。
3. 实对称矩阵的正特征值数与主元数相同（也就是说，其特征值符号个数与主元符号个数一致）。