线性代数笔记——矩阵及线性方程组

1、矩阵的定义

（1）由 $F$ 中的 $m*n$ 个数构成的 $m$ 行, $n$ 列矩形数表

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &... &a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2} & ...&a_{mn} \end{pmatrix}$

称为 $F$ 上的 $m*n$ 矩阵，构成A的 $m*n$ 个数称为A的元素。位于矩阵A的第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素 $a_{ij}$ 称为A的 $(i,j)$ —元。

A有 $m$ 个行： A有n个列：

$\begin{matrix}(a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n},) \\ (a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n},) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ (a_{m1},a_{m2},\cdots ,a_{mn},) \end{matrix}$ $\begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix},\cdots , \begin{pmatrix}a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}$

（2）如果矩阵A的元素都是实数，则称A为实矩阵

（3）矩阵的3中简记方法

① $A=(a_{ij})$ ② $A=\begin{pmatrix}A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \end{pmatrix}$ ③ $A=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$

（4）如果矩阵A的所有元素都为零，则称A为零矩阵；至少有一个元素不为零的矩阵称为非零矩阵。

矩阵中所有元素都为零的行(列)称为零行(零列)，否则称为非零行。

2、与线性方程组有关的矩阵

$m*n$ 线性方程组

$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{matrix}\right. \: \: \: \: \: \: \: (L1)$

①(L1)的系数矩阵 ②(L1)的未知数构成的列矩阵 ③(L1)的常数项构成的列矩阵

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &... &a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2} & ...&a_{mn} \end{pmatrix}$ $X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ $\beta =\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}$

④(L1)的增广矩阵

$X=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} &b_{1} \\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} &b_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2} &\cdots &a_{mn} &b_{m} \end{pmatrix}=(A,\beta )$

3、矩阵的初等变换

（1）定义：设A是 $m*n$ 矩阵.

① $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$ ② $hR_{i}$ ③ $kR_{i}+R_{j}$

上述三种变换称为矩阵A的初等变换。

（2）如果A可以经过有限次初等变换化为B，那么称A与B是等价的

（3）增广矩阵研究线性方程组

线性方程组(L1) $\rightarrow$ 增广矩阵B
对B作有限次初等行变换得矩阵C
矩阵C $\rightarrow$ 线性方程组(L2)
线性方程组(L1)与(L2)同解

4、阶梯型矩阵

（1）定义：如果矩阵T满足下列条件：

T的零行集中在T的底部；
T的非零行的(从左边起)第1个非零元为1；
设T有 $r$ 个非零行，T的第 $i$ 个非零行的第一个非零元位于第 $j_{i}$ 列， $i\in \begin{Bmatrix} 1,2,...,r \end{Bmatrix}$ , 则 $j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{r}$

那么称T为阶梯形矩阵。

（2）定义：阶梯形矩阵的非零行的1个非零元1称为T的主元.

阶梯形矩阵的主元的个数等于其非零行的个数
零矩阵是阶梯形矩阵

（3）定义：如果矩阵A与阶梯形矩阵T是行等价的，则称T为A的阶梯形.

（4）定义：矩阵A的阶梯形的非零行的个数称为A的秩，记作 $r(A)$

命题1 如果A是 $m*n$ 矩阵，那么 $r(A)\leq min(m,n)$

（5）定义：设T是阶梯形矩阵，如果T的主元所在列只有一个非零元，则称T为简化阶梯形矩阵.

任意矩阵的简化阶梯形是唯一的.

eg. $\begin{pmatrix} 1 & 1& -2 &1 \\ 0 &1 &-1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$ $\begin{pmatrix} 1 & 0& -1 &0 \\ 0 &1 &-1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

5、关于线性方程组的基本定理

定理1 如果对线性方程组(L1)做有限次初等变换得方程组(L2)，则方程组(L1)与方程组(L2)是同解的。

定理2 对任意矩阵A，存在阶梯形矩阵T，使得A与T是行等价的.

定理3 矩阵的阶梯形的非零行的个数是唯一的.

定理4 对任意矩阵A，存在简化阶梯形矩阵T，使得A与T是行等价的

定理5 设(L1)是 $m*n$ 线性方程组，A是(L1)的系数矩阵， $(A,\beta )$ 是(L1)的增广矩阵。有如下结论：

①方程组(L1)有解的充分必有条件是 $r(A)=r(A,\beta ).$

②方程组(L1)有解并且解唯一的充分必要条件是 $r(A)=r(A,\beta )=n.$

③进一步地，当(L1)的解不唯一是，(L1)有无穷多个解.

以 $(T,\gamma )$ 为增广矩阵的线性方程组记作(L2).形状如下：

$\left\{\begin{matrix}x_{j_{1}}+\cdots \cdots \cdots =d_{1} \\\: \: \: \: \: \: x_{j_{1}}+ \cdots \cdots =d_{2} \\ \: \: \: \: \cdots \cdots \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{j_{r}}+\cdots =d_{r} \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0=\delta \end{matrix}\right. \: \: \: \: \: \: \: (L2)$

first.下面根据 $\delta$ = 1 或者 $\delta$ = 0 分两种情况讨论方程组(L2)的性质.

（1） $\delta$ = 1. 这等价于 $r(A)<r(A,\beta )$

这种情况下，(L2)中的第r+1个方程为 0=1. 显然是无解方程，所以方程组(L2)无解，因此方程组(L1)无解.

（2） $\delta$ = 0. 这等价于 $r(A)=r(A,\beta )$ .

设 $r(A)=r(A,\beta )=n$ . 这时候，方程组(L2)为

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=d_{1} \\ x_{2}=d_{2} \\ \vdots \\ x_{n}=d_{n} \end{matrix}\right.$

它就是方程组(L1)的唯一解.

second.下面设 $r(A)=r(A,\beta )<n$ .

这时方程组(L2)中的自由未知数的个数 $n-r(A)>0$ 将(L2)中的含自由未知数的项都移到等式右边得

$\left\{\begin{matrix}x_{j_{1}=d_{1}-t_{1{j_{r+1}}}x_{j_{r+1}}-t_{1{j_{r+2}}}x_{j_{r+2}} -\cdots -t_{1{j_{n}}}x_{j_{n}} \\ x_{j_{2}=d_{2}-t_{2{j_{r+1}}}x_{j_{r+1}}-t_{2{j_{r+2}}}x_{j_{r+2}} -\cdots -t_{2{j_{n}}}x_{j_{n}} \\ \vdots \\ x_{j_{r}=d_{r}-t_{r{j_{r+1}}}x_{j_{r+1}}-t_{r{j_{r+2}}}x_{j_{r+2}} -\cdots -t_{r{j_{n}}}x_{j_{n}} \end{matrix}\right. \: \: \: \: \: \: (L3)$

方程组(L1)与(L3)同解.将自由未知数 $x_{j_{r+1}},x_{j_{r+2}}...,x_{j_{n}}$ 任意赋值：

$\left\{\begin{matrix}x_{j_{r+1}}=c_{1} \\ x_{j_{r+2}}=c_{2} \\ \vdots \\ x_{j_{n}}=c_{n-r} \end{matrix}\right.$ 代入(L3)得 $\left\{\begin{matrix}x_{j_{1}=d_{1}-t_{1{j_{r+1}}}c_{1}-t_{1{j_{r+2}}}c_{2} -\cdots -t_{1{j_{n}}}c_{n-r} \\ x_{j_{2}=d_{2}-t_{2{j_{r+1}}}c_{1}-t_{2{j_{r+2}}}c_{2} -\cdots -t_{2{j_{n}}}c_{n-r} \\ \vdots \\ x_{j_{r}=d_{r}-t_{r{j_{r+1}}}c_{1}-t_{r{j_{r+2}}}c_{2} -\cdots -t_{r{j_{n}}}c_{n-r}\end{matrix}\right$

方程组(L1)的通解为

$\left\{\begin{matrix}x_{j_{1}=d_{1}-t_{1{j_{r+1}}}c_{1}-t_{1{j_{r+2}}}c_{2} -\cdots -t_{1{j_{n}}}c_{n-r} \\ x_{j_{2}=d_{2}-t_{2{j_{r+1}}}c_{1}-t_{2{j_{r+2}}}c_{2} -\cdots -t_{2{j_{n}}}c_{n-r} \\ \vdots \\ x_{j_{r}=d_{r}-t_{r{j_{r+1}}}c_{1}-t_{r{j_{r+2}}}c_{2} -\cdots -t_{r{j_{n}}}c_{n-r} \\x_{j_{r+1}=c_{1}\\x_{j_{r+2}=c_{2} \\\vdots \! \! \! \! \! \! \\x_{j_{n}=c_{n-r} \end{matrix}\right$

其中 $c_{1},c_{2},...,c_{n-r}$ 为任意常数.这时方程组(L1)有无穷多解.

六、齐次线性方程组

1、定义：常数项都为零的线性方程组

$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=0 \end{matrix}\right. \: \: \: \: \: \: \: (H1)$

称为齐次线性方程组.

（1）常数项不全为零的线性方程组，称为非齐次线性方程组.

（2）齐次线性方程组(H1)一定有解，因为

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=0$

是它的一个解，零解以外的解称为非零解.

定理6 如果 $m*n$ 齐次线性方程组(H1)的系数矩阵为A，那么(H1)有非零解的充分必要条件是 $r(A)<n.$