MIT_线性代数笔记_01_方程组的几何解释

Lecture 1: The geometry of linear equations
课程 1：方程组的几何解释

首先考虑最简单的二元线性方程组

{a 1 x + b 1 y = l a 2 x + b 2 y = m .

$\begin{equation} \begin{cases} a_1 x + b_1 y = l \\ a_2 x + b_2 y = m \end{cases}. \end{equation}$
从行的角度来看，

a1x+b1y=l $a_1 x + b_1 y = l$ 和

a2x+b2y=m $a_2 x + b_2 y = m$ 分别表示两条二维平面中的直线，如果这两条直线相交，那么交点的坐标

(x∗,y∗) $(x^*, y^*)$ 即为方程组的解。

更确切的讲，如果两条直线相交于一点，那么该方程组有且仅有一个解，即为交点的坐标；
如果两条直线重合，那么说明这两条直线方程实际上是同一条直线，此时直线上的所有点的坐标均为方程组的解；
如果两条直线平行但不重合，则说明不存在点的坐标同时满足这两条直线的方程，此时方程组无解。

从列的角度来看，上述二元线性方程组可以写成

x (a 1 a 2) + y (b 1 b 2) = (l m) .

$x \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix}.$
此时，列向量

(a 1 a 2), (b 1 b 2), (l m)

$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix}$
表示起点为

(0,0) $(0, 0)$ , 终点分别为

(a1,a2),(b1,b2),(c1,c2) $(a_1, a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2)$ 的向量，分别记为

α,β,γ. $\alpha, \beta, \gamma.$
那么

x (a 1 a 2) + y (b 1 b 2)

$x \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$
就表示向量

α,β $\alpha , \beta$ 的线性组合，

x,y $x, y$ 称为线性组合的系数，因此线性方程组就可以理解为：
是否存在合适的线性组合系数 $x, y$ , 使得 $\alpha , \beta$ 的线性组合 $x \alpha + y \beta$ 恰好等于 $\gamma$ . 如果存在，线性组合的系数 $x, y$ 为多少？

值得一提的是，从列的角度看待线性方程组是一种非常重要的理解方式，以后会经常用到这样的思想。

类似的，对于三元一次方程组

⎧ ⎩ ⎨ a 1 x + b 1 y + c 1 z = l a 2 x + b 2 y + c 2 z = m a 3 x + b 3 y + c 3 z = n .

$\begin{equation} \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = l \\ a_2 x + b_ 2 y + c_2 z = m \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = n \end{cases}. \end{equation}$
从行的角度来看，三个三元一次方程表示三维空间中的三个平面，如果三个平面相交于一点，那么交点的坐标即为方程组的解。

更确切的讲，如果三个平面有且只有一个交点，那么此时方程组有且仅有一个解，即为交点坐标；
如果三个平面相交于一条直线，那么这条直线上的所有点的坐标均为方程组的解；
如果三个平面重合，那么平面上的点的坐标均为方程组的解；
如果三个平面没有公共的交点，那么方程组无解。

从列的角度来看，类似二元线性方程组的情形，同样可以从列向量线性组合的角度来理解。

对于一般的 $n$ 维线性方程组 $Ax=b$ ，其中 $A$ 是 $n \times n$ 维系数矩阵， $x$ 是 $n$ 维列向量， $b$ 是方程组右端的 $n$ 维列向量。

不妨设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个列向量， $x= (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$ ，则方程组 $Ax=b$ 可以表示为

(α 1, α 2, \dots, α n) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮ x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = b .

$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}=b.$
即

x 1 α 1 + x 2 α 2 + \dots + x n α n = b .

$x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = b.$
由此可以看出，矩阵

A $A$ 乘以向量

x $x$ 相当于对

A $A$ 的

n $n$ 的列向量作线性组合，线性组合的系数即为向量

x $x$ 各对应的分量。
因此对线性方程组

Ax=b $Ax=b$ 可以理解为：
是否存在合适的线性组合系数，使得 $A$ 的列向量的线性组合恰好为 $b$ 。如果存在，线性组合的系数为多少？这些线性组合的系数就构成了 $Ax= b$ 的解向量 $x.$

现在，我们还有一个问题，线性方程组 $Ax=b$ 在什么情况下有解？

首先我们考虑对于任意的 $n$ 维列向量 $x$ ，当 $x$ 变动时， $Ax$ 也在变动，当 $x$ 取遍所有的 $n$ 维列向量时， $Ax$ 就能取遍所有 $A$ 的列向量的线性组合，也就是说，所有的 $Ax$ 就构成了 $A$ 的列向量张成的线性空间 $V = \text{span} \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \}.$
因此

A x = b 有 解 \Leftrightarrow b \in span {α 1, α 2, \dots, α n} .

$Ax=b 有解 \Leftrightarrow b \in \text{span} \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \}.$
又由于

b \in span {α 1, α 2, \dots, α n} \Leftrightarrow rank A = rank (A, b) .

$b \in \text{span} \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \} \Leftrightarrow \text{rank} A = \text{rank}(A,b).$
因此我们也就得出了

A x = b 有 解 \Leftrightarrow rank A = rank (A, b) .

$Ax = b 有解 \Leftrightarrow \text{rank} A = \text{rank}(A,b).$
特别地，如果

A $A$ 的

n $n$ 个列向量线性无关，那么这

n $n$ 个列向量就构成了

n $n$ 维向量空间

Rn $\mathbb{R}^n$ 的一组基。此时对于任意的

b∈Rn $b \in \mathbb{R}^n$ 均可由

A $A$ 的列向量线性表出，也即是

Ax=b $Ax=b$ 一定有解。
换言之，如果

A $A$ 可逆，则

Ax=b $Ax=b$ 一定有解。

有了对线性方程组的这些认识，我们可以更好地理解矩阵乘法。

首先考虑列向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 右乘矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ .
先从行的角度考虑，不妨设

A = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 α T 2 ⋮ α T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮ x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .

$A = \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}, x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}.$
其中，

αT1,αT2,⋯,αTn $\alpha_1^T, \alpha_2^T, \cdots, \alpha_n^T$ 是

A $A$ 的

n $n$ 个行向量，

x1,x2,⋯,xn $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是

x $x$ 的

n $n$ 个分量。
则

A x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 α T 2 ⋮ α T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 x α T 2 x ⋮ α T n x ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α 1 \cdot x α 2 \cdot x ⋮ α n \cdot x ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .

$Ax = \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} \alpha_1^T x \\ \alpha_2^T x \\ \vdots \\ \alpha_n^T x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \cdot x \\ \alpha_2 \cdot x \\ \vdots \\ \alpha_n \cdot x \end{pmatrix} .$
由此可知，从行的角度来看，

Ax $Ax$ 相当于分别用

A $A$ 的行点乘

x $x$ ，这就是矩阵乘法的定义。

下面从列的角度考虑，这是一种非常重要的理解方式。
不妨设

A = (β 1, β 2, \dots, β n) .

$A = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n).$
其中，

β1,β2,⋯,βn $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是

A $A$ 的

n $n$ 个列向量。
则

A x = (β 1, β 2, \dots, β n) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮ x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = x 1 β 1 + x 2 β 2 + \dots + x n β n .

$Ax= (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\x_n \end{pmatrix}= x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + \cdots + x_n \beta_n.$
由此即知，列向量

x $x$ 右乘矩阵

A $A$ 即是对

A $A$ 的列向量作线性组合，

x $x$ 的各分量即为线性组合的系数。

下面考虑行向量 $y^T$ 左乘矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，其中 $y \in \mathbb{R}^n$
不妨设

y T = (y 1, y 2, \dots, y n) .

$y^T = (y_1, y_2,\cdots, y_n).$
则

y T A = (y 1, y 2, \dots, y n) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 α T 2 ⋮ α T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = y 1 α T 1 + y 2 α T 2 + \dots y n α T n .

$y^T A = (y_1, y_2, \cdots, y_n) \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}= y_1 \alpha_1^T + y_2 \alpha_2^T + \cdots y_n \alpha_n^T.$
由此即知，行向量

yT $y^T$ 左乘矩阵

A $A$ 相当于对

A $A$ 的行向量作线性组合，

yT $y^T$ 的各分量即为线性组合的系数。

综上所述，列向量 $x$ 右乘矩阵 $A$ 相当于对 $A$ 的列向量作线性组合， $x$ 的各分量即为线性组合的系数；行向量 $y^T$ 左乘矩阵 $A$ 相当于对 $A$ 的行向量作线性组合， $y^T$ 的各分量即为线性组合的系数。

对于矩阵与矩阵的乘法，只需把矩阵按行或列分块，即可按上述向量乘矩阵的方式理解。
即

A B = A (β 1, β 2, \dots, β n) = (A β 1, A β 2, \dots, A β n) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 α T 2 ⋮ α T n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ B = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ α T 1 B α T 2 B ⋮ α T n B ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .

$\begin{split} AB &= A(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n) = (A \beta_1, A \beta_2, \cdots, A\beta_n) \\ &= \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}B= \begin{pmatrix} \alpha_1^T B \\ \alpha_2^T B \\ \vdots \\ \alpha_n^T B \end{pmatrix}. \end{split}$
也即是，矩阵 $B$ 右乘矩阵 $A$ 相当于对 $A$ 的列作线性组合， $B$ 的各列的分量即为线性组合的系数；矩阵 $A$ 左乘矩阵 $B$ 相当于对 $B$ 的行作线性组合， $A$ 的各行的分量即为线性组合的系数。

这种理解方式也有助于我们更快地进行矩阵乘法的计算。

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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