线性代数笔记——矩阵的秩、逆、分块及特殊方阵

一、矩阵的秩

1、定义：矩阵的阶梯形中非零行的个数称为A的秩.

2、相关结论

（1）引理7 如果矩阵A与B是行等价的，则A与B的非零列的个数相等；如果矩阵A与C是列等价的，则A与C的非零行的个数相等.

（2）命题7 矩阵A的秩不大于A的非零行的个数，也不大于A的非零列的个数.

（3）引理8 如果矩阵A与B是行等价的，则 $r(A)=r(B)$

（4）引理9 如果对矩阵A作一次初等列变换得矩阵B，那么 $r(A)=r(B)$

（5）定理2 如果矩阵A与B是等价的，则 $r(A)=r(B)$

（6）定理3 $m*n$ 矩阵A的秩为r的充分必要条件是A等价于如下形式的 $m*n$ 矩阵

$K_{r}(m,n)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots &0 & 0& \cdots & 0\\ 0& 1 & \cdots& 0 &0 & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1& 0 & \cdots &0 \\ 0 & 0 & \cdots& 0& 0& \cdots&0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & &\vdots \\ 0 &0 & \cdots & 0 & 0&\cdots &0 \end{pmatrix}$

$K_{r}(m,n)$ 的(1,1),...,(r,r)元都为1，其余都为0.

（8）命题8 $r(A)=r(A^{T})$

（9）定理4 $r(AB)\leq min(r(A),r(B))$

推论如果m个矩阵 $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{m}$ 的乘积有意义，则 $r(A_{1}A_{2}\cdots A_{m})\leq min\begin{Bmatrix} r(A_{1},r(A_{2}),\cdots ,r(A_{m})) \end{Bmatrix}$

（10）设A为n阶矩阵，如果 r(A)=n ,则A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

二、可逆矩阵

1、定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA= $I_{n}$ ,则称A是可逆矩阵，称B为A的逆矩阵。不是可逆的矩阵称为不可逆矩阵.

2、性质

（1）如果A是可逆矩阵，那么A的逆矩阵是唯一的。可逆矩阵A的逆矩阵记作 $A^{-1}$ .

（2）如果A是可逆的，则 $A^{-1}$ 也是可逆的，并且 $(A^{-1})^{-1}=A$ .

（3）如果k为非零常数，A为可逆矩阵，那么 $kA$ 也是可逆矩阵，并且 $(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ .

（4）如果A，B为同阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

（5）如果A是可逆的，那么 $A^{T}$ 也是可逆的，并且 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

（6）初等矩阵是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵.(命题5)

（7）引理10 如果A是 n阶可逆矩阵，那么 $r(A)=n.$

证明设A是 n阶可逆矩阵.根据可逆矩阵的定义，存在n阶矩阵B使得AB= $I_{n}$ ,于是

$n=r(I_{n})=r(AB)\leq r(A)\leq n$

因此，r(A)=n.

（8）引理11 有限个初等矩阵的乘积是可逆矩阵.

（9）定理6 设A为n阶矩阵.下列论断彼此等价：

① A是可逆矩阵；

② $r(A)=n;$

③A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

推论1 设A,B都是n阶矩阵。如果乘积AB是可逆的，则A与B都是可逆的.

推论2 设A是n阶矩阵，并且线性方程组 $AX=\beta$ 有解， $AX=\beta$ 的解唯一的充分必要条件是A为可逆矩阵.

当A可逆是， $AX=\beta$ 的唯一解为 $X=A^{-1}\beta$ .

推论3 设A是n阶矩阵，齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解的充分必要条件为A为不可逆矩阵.

推论4 设A是 $m*n$ 矩阵，如果P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，那么

$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$ .

推论5 $m*n$ 矩阵A的秩为 r 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得

$PAQ=K_{r}(m,n)$

3、逆矩阵的求法

设A是n阶可逆矩阵， $A^{-1}$ 为 A的逆矩阵。将 $A^{-1}$ 按列表示为 $A^{-1}=(\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{n})$ ;将n阶单位矩阵 $I_{n}$ 按列表示为 $I_{n}=(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\cdots ,\varepsilon _{n})$ . 因为 $AA^{-1}=(A\beta _{1},A\beta _{2},\cdots ,A\beta _{n})$ ,并且 $AA^{-1}=I_{n}$ ，所以对于所有的 $i=1,2,\cdots ,n$ ,都有 $A\beta _{i}=\varepsilon _{i}$ ;根据定理6的推论2， $\beta_{i}$ 是方程组 $AX=\varepsilon _{i}$ 的唯一解.因为A是n阶可逆矩阵，所以根据定理6， $r(A)=n$ 。因此，A的简化阶梯形为 $I_{n}$ ,方程组 $AX=\varepsilon _{i}$ 的增广矩阵 $(A,\varepsilon _{i})$ 的简化阶梯形为 $(I_{n},\beta _{i}),i=1,2,\cdots ,n$ 于是 $n*(2n)$ 矩阵 $(A,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\cdots,\varepsilon _{n})$ 的简化阶梯形为 $(I_{n},\beta _{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})$ ，即 $(A,I_{n})$ 的简化阶梯形为 $(I_{n},A^{-1})$ 。

三、分块矩阵

1、定义：以分块形式表示的矩阵称为分块矩阵.

2、定理7 如果A是m阶可逆矩阵，D是 $n*t$ 阶矩阵，那么下列3个等式成立：

① $\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{m} & -A^{-1}B\\ 0&I_{t} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A &0 \\ C& D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$

② $\begin{pmatrix} I_{m} &0 \\ -CA^{-1}&I_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A & B\\ 0 & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$

③ $\begin{pmatrix} I_{m} &0 \\ -CA^{-1} &I_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A &B \\ C&D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{m} &-A^{-1}B \\ 0& I_{t} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A &0 \\ 0&D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$