线性代数笔记——向量空间

一、向量与向量空间

1、设F是实数集或者复数集，F中任意两个数的和积差商(除数不为零)仍然在F中.

2、定义：设 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in F$ .列矩阵

$\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \cdots \\ a_{n} \end{pmatrix}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{T}$

称为F上的n元向量，元素都为实数的向量称为实向量.向量的元素也称为分量， $a_{i}$ 是第i个分量。

对于取定的正整数n，令

$F^{n}=\begin{Bmatrix} \alpha :\alpha = \begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix} ,a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in F \end{Bmatrix}$

$F^{n}$ 是由F上所有n元向量构成的集合.

3、向量的线性运算

（1）加法

对于任意的 $\alpha =\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\\vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}$ , $\beta =\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\\vdots \\b_{n} \end{pmatrix}\in F^{n}$ $,\alpha +\beta =\alpha =\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\\vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{pmatrix}$ ,称为向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和

（2）数乘

对于任意的 $k\in F$ , $\alpha =\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\\vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}\in F^{n} ,k\alpha =\begin{pmatrix}ka_{1} \\ka_{2} \\\vdots \\ ka_{n} \end{pmatrix}\in F^{n}$ 称为数k与向量 $\alpha$ 的乘积，简称为数乘.

4、向量空间

（1）定义：设V是 $F^{n}$ 的非零子集.如果

①对任意的 $\alpha$ ， $\beta$ $\in V$ ,都有 $\alpha +\beta \in V$ ,称为V对向量的加法封闭

②对任意的 $k\in F,\alpha \in V$ ,都有 $k\alpha \in V$ ,称为V对数与向量的乘法封闭

那么称V是F上的向量空间.

（2）性质

设 $V\subseteq F^{n}$ 是F上的向量空间，则下列性质成立：

①V中含有 $F^{n}$ 中的零向量0；

②V中任意向量 $\alpha$ 的符向量- $\alpha$ 在V中；

③如果 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}\in F,\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}\in V$ ，那么 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}\in V$

二、向量空间的子空间

1、定义：设V是F上的向量空间，W是V的非空子集. 如果W也是F上的向量空间，则称W是向量空间V的子空间.

2、命题1 如果 $V_{1},V_{2}$ 是F上的向量空间V的子空间，那么

① $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的交 $V_{1}\cap V_{2}$ 是V的子空间

② $V_{1}+V_{2}=\begin{Bmatrix} \alpha +\beta :\alpha \in V_{1},\beta \in V_{2} \end{Bmatrix}$ 是V的子空间，称为 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的和.

3、定义：设 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{t}$ 是F上的向量空间V中的一组向量.对F中的任意常数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ ，表达式 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{t}\alpha _{t}$ 称为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{t}$ 的线性组合.

设 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{t}$ 是F上的向量空间V中的一组向量,令 $L(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})=\begin{Bmatrix} k_{1}\alpha _{1},k_{2}\alpha _{2},\cdots,k_{t}\alpha _{t}:k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}\in F \end{Bmatrix}$

4、命题2 $L(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})$ 是V的子空间.

5、 $L(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})$ 称为由V中向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 生成的V的子空间，简称为生成子空间.

三、与矩阵有关的向量空间

1、定义：设A是F上的 $m*n$ 矩阵，F上的线性方程组 $AX=\beta$ 的解 $X=\begin{pmatrix}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{pmatrix}$ 是 $F^{n}$ 中的一个向量，称为 $AX=\beta$ 的解向量.

F上的 $m*n$ 齐次线性方程组 $AX=0$ 的解向量构成的集合记作N(A)，即 $N(A)=\begin{Bmatrix} \xi \in F^{n}:A\xi=0 \end{Bmatrix}$

2、命题3 N(A)是F上的向量空间.

证明设 $\xi_{1},\xi_{2}\in N(A)$ ,则有 $A\xi_{1}=A\xi_{2}=0$ .因为 $A(\xi_{1}+\xi_{2})=A\xi_{1}+A\xi_{2}=0$ ,所以 $\xi_{1}+\xi_{2}\in N(A)$ 。设 $\xi \in N(A),k\in F$ ,因为 $A\xi=0$ ，所以 $A(k\xi)=k(A\xi)=0$ ，即 $k\xi\in N(A)$ .因此，N(A)是F上的向量空间.证毕

3、定义：N(A)称为A的解空间，或者称为齐次线性方程组AX=0的解空间.

F上的 $m*n$ 矩阵A的零空间N(A)是 $F^{n}$ 的子空间.

4、设 $A=(a_{ij})$ 是F上的 $m*n$ 矩阵.将A的n个列记作

$\alpha _{1}=\begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}, \alpha_{2} =\begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}, \cdots, \alpha_{n} =\begin{pmatrix}a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}$ , $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{n}\in F^{m}$ 称为由A的列构成的向量组.

A的n个列构成的向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{n}$ 生成的 $F^{m}$ 的子空间 $L(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{n})$ 称为A的列空间,也称为A的值域，记作R(A).

因为 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{n}\alpha _{n}=A \begin{pmatrix}k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \end{pmatrix} =A\gamma$

所以 $R(A)=\begin{Bmatrix} k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+\cdots+k_{n}\alpha _{n}:k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}\in F \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} A\gamma :\gamma \in F^{n} \end{Bmatrix}$

5、定义：将 $m*n$ 矩阵A的m个行记作

$\begin{matrix}\beta _{1}^{T}=(a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}) \\ \beta _{2}^{T}=(a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}) \\ \cdots\cdots \\ \beta _{m}^{T}=(a_{m1},a_{m2},\cdots,a_{mn}) \end{matrix}$

$\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{m}\in F^{n}$ 称为由A的行构成的向量组.

由A的行构成的向量组 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{m}$ 生成的 $F^{n}$ 的子空间 $L(\beta _{1},\beta _{2},\cdots,\beta _{m})$ 称为A的行空间，记作 $R(A^{T})$ ,

$R(A^{T})=\begin{Bmatrix} A^{T}\eta :\eta \in F^{m} \end{Bmatrix}$

6、定义：设 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots, \alpha _{t}$ 是 $F^{n}$ 中的向量组， $n*t$ 矩阵 $(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t})$ 称为由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ 按列构成的矩阵；

$t*n$ 矩阵 $\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{T} \\ \alpha _{2}^{T} \\ \vdots \\ \alpha _{t}^{T} \end{pmatrix}$ 称为由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots,\alpha _{t}$ ,按行构成的矩阵.