MIT_线性代数笔记_04_A的LU分解

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 4: Factorization into A = LU
课程 4：A的LU分解

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LU分解

我们从另一种角度来看待 Gauss 消元。

首先考虑没有行交换的情形（也就是主元位置的元素不为 0）。

对矩阵 $A$ 进行 Gauss 消元相当于用一系列初等矩阵左乘 $A$ 从而得到上三角矩阵 $U.$

以 $3 \times 3$ 矩阵为例。

设 $A$ 是一个 $3\times 3$ 矩阵，$E_{21},E_{31},E_{32}$ 是初等矩阵（$E_{ij}$ 将 $(i,j)$ 位置的元素消为 $0$），$U$ 是消元后所得到的上三角矩阵，即

$$E_{32} E_{31} E_{21}A= U.$$
因此
$$A=E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1} U.$$
记
$$E=E_{32} E_{31} E_{21},\quad L=E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1},$$
则以上两式即为
$$EA=U,\quad A= LU.$$

下面我们通过例子来说明为什么希望得到 $A=LU$ 的形式而不是 $EA=U.$

不妨取

$$E_{21}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_{31}=I, \quad E_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix},$$
则
$$E=E_{32} E_{31} E_{21}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ \boxed{10} & -5 & 1 \end{pmatrix},$$
$$L=E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}.$$
注意到矩阵 $E$ 的 $(3,1)$ 位置出现了 $10$，为什么会产生 $10$ 呢，这是因为我们首先将 $A$ 的第一行的 $-2$ 倍加到第二行，又将第二行的 $-5$ 倍加到了第三行，这就相当于将第一行的 $-2 \times -5 =10$ 倍加到了第三行，因此这就导致了 $E$ 的 $(3,1)$ 位置出现了 $10$，然而我们并不希望 $10$ 出现，因为它不利于我们快速确定变换所用的矩阵。

而当我们写成 $A=LU$ 的形式时，显然 $L$ 是对角元全为 $1$ 的下三角矩阵，且 $L$ 下三角部分各位置的元素可通过消元过程快速确定，$L$ 的 $(2,1),(3,2)$ 位置的元素即为消元的所用乘数 $-2,-5$ 的相反数（差了一个负号是求逆的缘故）。

因此，我们只需记录消元所用的乘数，就能快速地确定矩阵 $L$（注意我们这里所讨论的是没有行交换的情形），不需要进行任何计算，这就是我们使用形式 $A=LU$ 的好处。

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