线性代数笔记——矩阵运算和转置

一、矩阵的线性运算

1、定义：设 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 是两个 $m*n$ 矩阵.如果对任意的 $i=1,2,..,m,j=1,2,...,n$ 都有 $a_{ij}=b_{ij}$ ,

则称A与B相等，记作A=B.

2、矩阵的加法

设 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 是两个 $m*n$ 矩阵.如果对任意的 $i=1,2,..,m,j=1,2,...,n$ 令 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

$m*n$ 矩阵 $C=(c_{ij})$ 称为A与B的和，记作C=A+B.

3、数乘

设 $A=(a_{ij})$ 是 $m*n$ 矩阵.如果对任意的 $i=1,2,..,m,j=1,2,...,n$ 令 $b_{ij}=ka_{ij}$ ,

$m*n$ 矩阵 $B=(b_{ij})$ 称为常数k与矩阵A的乘积，简称数乘，记作 B=kA.

4、性质

设A,B,C是 $m*n$ 矩阵，h,k是常数，那么：

（1）A+B = B+A （2）(A+B)+C = A+(B+C)

（3）A+0 = A （4）A + -A = 0

（5）1*B = A （6）(hk)*C = h(kA)

（7）(h+k)A = hA+kA （8）k(A+B)+C = kA+kB

二、矩阵的乘法运算

1、定义：设 $A=(a_{ij})$ 是 $m*n$ 矩阵， $B=(b_{ij})$ 是 $n*t$ 矩阵.

将A按行记作 $A=\begin{pmatrix}A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \end{pmatrix}$ ,其中 $A_{i}=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in}),i=1,2,...,m.$

将B按列记作 $B_{j}=(B_{1},B_{2},...,B_{t})$ ,其中 $B_{j}=\begin{pmatrix}b_{1j} \\ b_{nj} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix}$ $,j=1,2,...,t.$

A与B的乘积AB的(i,j)元定义为：

$A_{i}B_{j}=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in})\begin{pmatrix}b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{1j} \end{pmatrix}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj},$

$i=1,2,\cdots ,m,\: \: j=1,2,\cdots ,t.$

因此，AB是 $m*t$ 矩阵如下：

$AB=\begin{pmatrix} A_{1}B_{1} & A_{1}B_{2} & \cdots &A_{1}B_{t} \\ A_{2}B_{1} & A_{2}B_{2} & \cdots & A_{2}B_{t}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{m}B_{1} & A_{m}B_{2} & \cdots & A_{m}B_{t} \end{pmatrix}$

2、对于线性方程组有：

$AX=\beta$
$x_{1}\alpha _{1}+x_{2}\alpha _{2}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}=\beta$
$x_{1}\alpha _{1}+x_{2}\alpha _{2}+\cdots +x_{n}\alpha _{n}=AX$

3、性质

（1）命题1 如果A的第 i 行为零行，则AB的第 i 行为零行；如果B的第 j 列为零列，而则AB的第 j 列为零列.因此：

①AB的非零行的个数 $\leq$ A的非零行的个数;

②AB的费零列的个数 $\leq$ B的非零列的个数.

（2）矩阵乘法不满足交换律

（2）矩阵乘法不满足消去律

三、方阵

1、定义：行数和列数相等的矩阵称为方阵；行数和列数都为n的方阵为n阶矩阵或者n阶方阵。n阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的元素 $a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$ 称为A的对角元.

2、定义：设m是正整数，A是方阵.m个A的乘积为A的m次方，记作 $A^{m}$ ,约定 $A^{0}=I,A^{1}=A.$

3、m次方的性质

如果s,t为为非负整数，则 $A^{s}A^{t}=A^{s+t},(A^{s})^{t}=A^{st}$
设A,B为同阶方阵，m为正整数.如果AB=BA，那么 $(AB)^{m}=A^{m}B^{m}$

4、定义：设 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 是常数， $f(x)=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+\cdots +a_{m-1}x+a_{m}x^{0}$

是x的多项式，对于方阵A， $f(A)=a_{0}A^{m}+a_{0}A^{m-1}+\cdots +a_{m-1}A+a_{m}I$

称为方阵A的多项式.

5、方阵的性质

设 $f(x),g(x),h(x)$ 是x的多项式，A是方阵.如果 $f(x)=g(x)h(x)$ ,那么 $f(A)=g(A)h(A)$ .

四、矩阵的转置

1、定义：设 $A=(a_{ij})$ 是 $m*n$ 矩阵.对任意的 $i=1,2,\cdots ,m,\: \: j=1,2,\cdots ,n,$ 令 $b_{ij}=a_{ji}$ , $n*m$ 矩阵 $B=(b_{ij})$ 称为A的转置，记作 $A^{T}.$

2、性质：设A，B是两个矩阵，k是任意常数，则有

（1） $(A^{T})^{T}=A$

（2） $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

（3） $(kA)^{T}=kA^{T}$

（4） $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

（5）命题2 如果 $m*n$ 矩阵A的n个列为 $\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n},$ n阶单位矩阵 $I_{n}$ 的n个列为 $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\cdots ,\varepsilon _{n},$ 那么 $\alpha _{j}=A\alpha _{j},j=1,2,\cdots ,n.$

$(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n},)=AI_{n}=(A\varepsilon _{1},A\varepsilon _{2},\cdots ,A\varepsilon _{n})$

（6）命题3 如果 $m*n$ 矩阵A的n个列为 $A _{1},A _{2},\cdots ,A _{m},$ m阶单位矩阵 $I_{m}$ 的n个列为 $\varepsilon _{1}^{T},\varepsilon _{2}^{T},\cdots ,\varepsilon _{n}^{T},$ 那么 $A _{i}=\varepsilon _{i}^{T}A,i=1,2,\cdots ,m.$

$\begin{pmatrix}A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{m} \end{pmatrix}=I_{m}A= \begin{pmatrix}\varepsilon _{1}^{T}A \\ \varepsilon _{2}^{T}A \\ \vdots \\ \varepsilon _{m}^{T}A \end{pmatrix}$