MIT_线性代数笔记_02_矩阵消元

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/xhf0374/article/details/63680667

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

---

Lecture 2: Elimination with matrices
课程 2：矩阵消元

---

对于线性方程组

$$\begin{equation} \begin{cases} x + 2y + z &=2 \\ 3 x + 8y +z &= 12 \\ \qquad 4y + z &=2 \end{cases}, \end{equation}$$
我们首先通过消元来简化方程组，再通过回代求得方程组的解。

考虑方程组系数矩阵 $A$ 及其右端向量 $b$

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix},\quad b= \begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\2 \end{pmatrix},$$
我们称
$$(A,b)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
为增广矩阵(augmented matrix).

下面对增广矩阵 $(A,b)$ 进行消元：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 8 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{第一行乘以-3加到第二行} \begin{pmatrix} 1 & 2 &1 & 2\\ 0 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 4 &1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{第二行乘以-2加到第三行} \begin{pmatrix} \boxed{1} & 2& 1 &2 \\ 0 & \boxed{2} & -2 & 6\\ 0 & 0 & \boxed{5} & -10 \end{pmatrix}.$$
其中，方框中的 $1, 2, 5$ 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 $0.$

下面通过回代求得线性方程组的解。

首先由增广矩阵的第三行可知，$z=-2$，将 $z=-2$ 代入第二行可得 $y=1$，再将 $z=-2, y=1$ 代入第一行可得 $x=2.$ 因此方程组的解为

$$x=2,\quad y = 1,\quad z=-2.$$

扫描二维码关注公众号，回复： 3219805 查看本文章

我们将 $A$ 通过消元后得到的上三角矩阵(upper triangular) 记为 $U$，即

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.$$
下面从矩阵乘法的角度来说明 $A$ 是如何变成 $U$ 的。

首先将 $A$ 的第一行的 $-3$ 倍加到第二行得到了

$$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 &1 \end{pmatrix}.$$
回忆一下矩阵乘法，一个矩阵左乘矩阵 $A$ 相当于对 $A$ 的行作线性组合，因此我们要找到一个合适的矩阵 $X$ 使得 $XA=A_1$，由 $A$ 和 $A_1$ 的前两行相同可知，矩阵 $X$ 的第一行和第三行分别为 $(1,0,0),(0,0,1).$ 又由将 $A$ 的第一行的 $-3$ 倍加到第二行得到 $A_1$ 可知， $X$ 的第二行为 $(-3, 1,0).$
因此
$$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
我们将这个矩阵即为 $E_{21}$，因为它把 $A$ 的 $(2,1)$ 位置的元素消成了 $0.$ 这个矩阵称为初等矩阵或消元矩阵(elementary matrix or elimination matrix).

同理可知，第二次变换的矩阵为

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$
我们将这个矩阵记为 $E_{32}$，它同样是初等矩阵。

因此我们即得

$$E_{32}E_{21}A = U.$$
这就是矩阵消元的乘法表示。

---

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）