MIT_线性代数笔记_07_求解Ax=0：主变量、特解

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/xhf0374/article/details/64519834

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

---

Lecture 7: Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions
课程 7：求解Ax=0：主变量、特解

---

这一讲的内容主要是求解：$Ax=0.$

以

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{pmatrix}$$
为例，对 $A$ 进行消元（消元不改变 $A$ 的零空间，改变 $A$ 的列空间）得
$$\begin{pmatrix} \boxed{1} & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \boxed{2} & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \triangleq U.$$
其中， $1, 2$ 为主元（每个非零行的第一个非零元素就是主元）， $1,2$ 所在的列第一列、第三列称为主元列，第二列、第四列称为自由列。主元的个数即为 $A$ 的秩，即 $\text{rank} A = 2.$

设 $x= (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$，则 $x_1, x_3$ 称为主变量，$x_2, x_4$ 称为自由变量，自由变量的个数为未知数的个数减去主元的个数（即减去 $A$ 的秩），即若 $A$ 是 $m \times n$ 维矩阵，则自由变量的个数为 $n - \text{rank} A.$

由于消元不改变方程组的解，因此求解 $Ax= 0$ 就等价于求解 $Ux =0.$

分别取自由变量 $(x_2, x_4) = (1, 0), (x_2, x_4)=(0,1)$ 可得 $Ux =0$ 的两个特解

$$\xi = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}, \quad \eta = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
因此，零空间中的元素为
$$x = a \xi + b \eta,$$
其中， $a,b$ 为任意常数。

简化行阶梯形式

在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都为 $0$，且主元都为 $1.$

下面我们进一步将矩阵 $U$ 化为简化行阶梯形式 $R$

$$R= \begin{pmatrix} \boxed{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \boxed{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
也可以使用 MATLAB 命令 rref(A) % reduced row echelon form

这样，求解 $Ax =0$ 就等价于 $Rx=0$，从而能够更快地写出方程组的解。

---

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）