MIT_线性代数笔记_03_乘法和逆矩阵

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MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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Lecture 3: Multiplication and inverse matrices
课程 3：乘法和逆矩阵

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矩阵乘法的五种理解方式：

1. 定义
   设 $C=AB$，则矩阵 $C$ 的 $(i,j)$ 元为 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的各元素相乘之和，即
   

   $$c_{ij} =a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j} +\cdots + a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}.$$
   也即是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列点乘所得到的结果。

2. 从列的角度
   设
   

   $$B=(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n),$$
   其中，$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $B$ 的 $n$ 个列向量。
   则
   $$AB=A(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)= (A\beta_1, A\beta_2, \cdots, A\beta_n).$$
   因此，从列的角度来看，矩阵 $B$ 右乘矩阵 $A$ 所得到的矩阵的每一列都是 $A$ 的列的线性组合，线性组合的系数分别是 $B$ 的各列的分量。

3. 从行的角度
   设
   

   $$A= \begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix},$$
   其中，$\alpha_1^T, \alpha_2^T, \cdots, \alpha_n^T$ 是 $A$ 的 $n$ 个行向量。
   则
   $$AB= \begin{pmatrix} \alpha_1^T B \\ \alpha_2^T B \\ \vdots \\ \alpha_n^T B \end{pmatrix}.$$
   因此，从行的角度来看，矩阵 $A$ 左乘矩阵 $B$ 所得到的矩阵的每一行都是 $B$ 的行的线性组合，线性组合的系数分别是 $A$ 的各行的分量。

4. 从列乘以行的角度
   设
   

   $$A=(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n), \quad B= \begin{pmatrix} \eta_1^T \\ \eta_2^T \\ \vdots \\ \eta_n^T \end{pmatrix},$$
   其中，$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个列向量， $\eta_1^T, \eta_2^T, \cdots, \eta_n^T$ 是 $B$ 的 $n$ 个行向量。
   则
   $$AB= \xi_1 \eta_1^T + \xi_2 \eta_2^T +\cdots + \xi_n \eta_n^T = \sum_{k=1}^{n} \xi_k \eta_k^T.$$
   由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵，因此从列乘以行的角度来看，矩阵 $A$ 乘以 $B$ 得到的是 $n$ 个矩阵之和，其中第 $i$ 个矩阵由 $A$ 的第 $i$ 列乘以 $B$ 的第 $i$ 行得到。

5. 分块乘法(block multiplication)
   矩阵乘法同样可以分块来乘，只要分块的大小能够使乘法有意义即可（分块的大小要相互匹配）。
   如
   

   $$AB= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1 B_1 + A_2 B_3 & A_1 B_2 + A_2 B_4 \\ A_3 B_1 + A_4 B_3 & A_3 B_2 + A_4 B_4 \end{pmatrix}.$$

矩阵的逆

如果存在矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=I$, 则矩阵 $B$ 称为矩阵 $A$ 的逆矩阵(inverse matrix)，记为 $A^{-1}.$

如果存在矩阵 $B$ 使得 $AB=I$，我们称 $B$ 是 $A$ 的右逆(right inverse)，事实上，我们可以证明 $B$ 还是 $A$ 的左逆(left inverse)，即 $BA=I$，因此，我们直接称满足 $AB=BA=I$ 的矩阵 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵(inverse matrix)，即为 $A^{-1}.$

下面我们证明，若 $AB=I$，则 $BA=I.$

由于 $1=\text{det}(AB) =\text{det} (A) \text{det}(B)$，因此 $\text{det}(B) \neq 0$，故 $B$ 可逆。
又由于 $AB=I$，则 $B=B(AB)=(BA)B$ ，故 $(BA-I)B=0.$
再由 $B$ 可逆即得 $BA=I.\quad \square$

那么如何判断矩阵 $A$ 是否可逆？

以矩阵

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$
为例，如果从行列式的角度来看，由于 $A$ 的行列式为零，显然 $A$ 不可逆。但是，有没有其他方式来说明 $A$ 不可逆呢？

注意到 $A$ 的两列是线性相关的（都是 $(1,2)^T$ 的倍数），假设存在矩阵 $B$ 使得 $AB=I$，再来回忆下矩阵的乘法可知，$AB$ 的每一列都是 $A$ 的列的线性组合，因此 $AB$ 的每一列也都是 $(1,2)^T$ 的倍数，显然是不可能等于单位矩阵 $I$ 的，因此 $A$ 不可逆。

或者我们可以再换一种方式来说明：
如果存在向量 $x \neq 0$ 使得 $Ax=0$，那么 $A$ 不可逆。

这个结论的证明是显然的，假设 $A$ 可逆，那么 $Ax=0$ 两边同时乘以 $A^{-1}$，则得到 $x=0$，矛盾，因此 $A$ 不可逆。

显然，可取 $x=(-3, 1)^T$，则 $Ax=0$，因此，$A$ 不可逆。

那么如何来求解 $A$ 的逆呢？

利用 Gauss-Jordan 消元法，对矩阵 $(A, I)$ 通过行变换消元，当 $(A, I)$ 中的 $A$ 变为 $I$ 时， $(A,I)$ 中的矩阵 $I$ 就变成了 $A^{-1}$，即

$$(A,I) \xrightarrow[当 XA=I 时，X即为 A^{-1}，I 就变为 A^{-1}] {行变换消元，相当于在左边乘以矩阵 X } (I, A^{-1}).$$

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