麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 11 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

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Lecture 11 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

我们曾就 n 维空间讲的很详细，同样的思想也能用于矩阵空间——加法和数乘（详见Lecture 6）。因此矩阵空间可以看作是新的向量空间。

以$3\times 3$矩阵组成的矩阵空间${\mathbf M}$为例，空间内可以相加，也可以数乘（不考虑矩阵相乘）。 $\mathbf M$的子空间有upper triangles 上三角矩阵、symmetric matrices 对称矩阵、diagonal matrices 对角矩阵等。

子空间这个词是符合规则的，如果我把两个对称矩阵相加还是对称的，把两个上三角矩阵相加还是上三角。那么现在提出一些问题：这些子空间的基是什么？维度又是多少？整个空间的维度是多少？

• 首先$\mathbf M$有一组自然的基$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \end{array} \right)$、$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \end{array} \right )$、$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \end{array} \right )$…$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \end{array} \right )$。${\mathbf M}$的维度是 9。事实上我们的空间几乎与 9 维空间相同，只是 9 个数字是写为一个方阵而不是一列。
• 当我们观察${\mathbf M}$中的对称矩阵子空间${\mathbf S}$时，原来的基中有 3 个矩阵（3 个对角矩阵）属于这个子空间，但${\mathbf S}$的维度是 6 （另外 3 个矩阵是$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \end{array} \right)$、$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&0&1\\0&0&0\\1&0&0 \end{matrix} \end{array} \right )$、$\left (\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{matrix} \end{array} \right )$不属于${\mathbf M}$）。
• 当我们观察${\mathbf M}$中的上三角矩阵子空间${\mathbf U}$时，${\mathbf U}$的维度是 6 ，并且恰好都属于原空间的基。

在了解如何得到其他子空间前，我们先讲讲${\mathbf S}$和${\mathbf U}$的交集 $\mathbf S \bigcap \mathbf U$。这个空间里都是$3\times 3$的对角矩阵，且它的维度是 3 。（不考虑$\mathbf S$和$\mathbf U$的并集 $\mathbf S \bigcup \mathbf U$，因为它不是子空间）。

那还能如何构成子空间呢？这里我们使用了和 $\mathbf S + \mathbf U$，取$\mathbf S$内任一元素加上$\mathbf U$内任一元素即可。如果我取任一对称矩阵把它加到任一上三角矩阵上，就能得到所有$3\times 3$矩阵。 $\mathbf S + \mathbf U$的维度是 9 。

维度$dim(\mathbf S)=6$，维度$dim(\mathbf U)=6$， 维度$dim( \mathbf S \bigcap \mathbf U)=3$，维度$dim( \mathbf S + \mathbf U)=9$ 。

综上可得： $dim(\mathbf S)+dim(\mathbf U) =dim(\mathbf S \bigcap \mathbf U)+dim(\mathbf S+\mathbf U)$。

接下来我们再举一个没有向量的“向量空间”例子，它来自微分方程。

假设我有一个微分方程$\frac{d^2 y}{dx^2}+y=0$。这个方程的解有：$y=\cos x$，$y=\sin x$。只考虑这两个解，那么方程所有的解是$y=c_1\cos x+c_2\sin x$。这是一个向量空间，这个空间的维度是多少？这个空间的基是多少？

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如果我取二阶微分方程的解的集合，一组基意味着空间里的所有元素都是基向量的组合。因此本例中，$\cos x$和$\sin x$是一组基，它们就像$Ax=0$的特殊解一样是微分方程的特殊解。解空间的维度$dim(Solution Space)$为 2。但它们是这个空间唯一的基吗？不，$e^{ix}$和$e^{-ix}$也是一组基。

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注：根据欧拉公式$\left\{ \begin{array}{rcl} e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x \end{array} \right.$得出$\sin x=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})}{2i}$，$\cos x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}$。（$i$是虚数单位）

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线性微分方程的一个重要内容就是寻找解空间的基。本例中的解不像向量，但我们仍可以称之为向量，因为我们可以做加法也可以做数乘，对它们进行线性组合。线性方程、基、维度等概念不仅限于我们一直讨论的$m\times n$矩阵。现在让我们回到那个数字——矩阵的秩。我们重拾关于秩为 1 的矩阵的话题。

假设有一个秩为 1 的矩阵$A=\left( \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&4&5\\2&8&10 \end{matrix} \end{array} \right)$。这个矩阵行空间的一组基是第一行，列空间的一组基是第一列，即$dim(C(A))=rank=dim(C(A^T))$。我们可以将$A$写成一个更漂亮的形式$\left( \begin{array}{} \begin{matrix} 1\\2 \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{} \begin{matrix} 1&4&5 \end{matrix} \end{array} \right)$，一列乘以一行。 关键在于，所有的秩 1 矩阵都可以表示为一列乘以一行的形式。秩 1 矩阵就像积木一样，可以搭建出任何矩阵。比如秩为 4 的矩阵，通过四个秩 1 矩阵就能搭建。

现在让我们想象从一个由所有$5\times 17$矩阵构成的空间$\mathbf M$里挑出一个秩 1 矩阵组成的子集，这个子集是一个子空间吗？答案为No。将两个秩 1 矩阵相加，它们和的秩不一定仍为 1 。

再来一个关于子空间的问题。四维空间$\mathbb R^4$中，空间里的向量都有四个分量$\vec v=\left( \begin{array}{c:c} v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{array} \right)$，设各分量之和为 0 的所有向量构成的集合为$S$，在$S$中的$\vec v$满足$v_1+v_2+v_3+v_4=0$。那么$S$是否为子空间？答案是Yes。任取某分量之和为 0 的向量，乘以某个数，新向量的分量之和仍为 0 （新向量仍在$S$里）。将$S$里的$\vec v$和$\vec w$相加，结果分量之和仍为 0 。

那么$S$的维数和基是什么？$S$是某个矩阵的零空间吗？如果是，那我们只要找到这个矩阵就可以完全了解它的子空间。对于$A\vec v=0$来说，$A=\left( \begin{array}{} 1&1&1&1 \end{array} \right)$。而$A$的零空间的维度$dim(N(A))=n-r=4-1=3$。即$dim(S)=3$。$S$的一组基即为$A$的特殊解：$\left( \begin{array}{c:c} -1\\1\\0\\0\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c:c} -1\\0\\1\\0\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c:c} -1\\0\\0\\1\end{array} \right)$。

最后一部分我们来介绍“小世界”图。由此可以引出图论和线性代数的联系。

首先，什么是“图”。图是结点和边的集合，边联通了各个结点。

这个图有五个结点，六条边，一个$5\times 6$的矩阵可以表示这个图的全部信息。假设有某个集体，每个人都是一个结点，只要两个人是朋友，那么就有一条边连接这两个结点。我们可以将这个集体类推到城市、国家。

问题是：从任意一个结点到任意其他结点，共需要走多少步？比如就整个国家而言，图中的两人最远相距多少步（老师举了Clinton 和 Monica 的例子2333）？ “number six degrees of separation 六度分离猜想”大概回答了这个问题。有趣的是，通过一些捷径，结点间的距离奇迹般地拉近了。