【信号与系统】笔记（4-3）拉普拉斯逆变换

Author：AXYZdong
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前言

拉普拉斯逆变换求解方法：

（1）根据定义，复变函数积分（比较困难）

（2）部分分式分解（常用）

（3）留数定理

部分分式分解

若象函数 $F(s)$ 是 $s$ 的有理分式，可写为：
$F(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$

若 $m \ge n$ （假分式），可用多项式除法将象函数 $F(s)$ 分结尾有理多项式 $P(s)$ 与有理真分式之和。

$F(s)=P(s)+\frac{B_0(s)}{A(s)}$

有理真分式的情形

若 $F(s)$ 是 $s$ 实系数有理真分式（ $m<n$），则可写为：
$F(s)=\frac{B (s)}{A(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$

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$A(s)$ 称为特征多项式，方程 $A(s)=0$ 称为特征方程，它的根称为特征根，也称为 $F(s)$ 的固有频率。 $n$ 个特征根 $p_i$ 称为 $F(s)$ 的极点。

1、极点为实数，无重根

例： $F(s)=\frac{2s+1}{s(s+2)(s+3)}$

解：令： $F(s)=\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s+2}+\frac{k_3}{s+3}$
$k_1=sF(s)|_{s=0}=1/6,\\k_2=(s+2)F(s)|_{s=-2}=3/2\\k_3=(s+3F(s)|_{s=-3}=-5/3$
故： $F(s)=\frac{ 1}{6s}+\frac{3}{2(s+2)}+\frac{-5}{3(s+3)}$
$F(s)$ 拉式反变换为 $f(t)=( \frac{ 1}{6}+\frac{3}{2}e^{-2t}-\frac{5}{3}e^{-3t})\epsilon(t)$

2、包含共轭复数极点

例： $F(s)=\frac{s^2+3}{ (s+2)(s^2+2s+5)}$

解： $F(s)=\frac{s^2+3}{(s+1+j2)(s+1-j2)(s+2)}$
令： $F(s)=\frac{k_1}{s+1-j2}+\frac{k_2}{s+1+j2}+\frac{k_3}{s+2}$
$p_{1,2}=-\alpha\pm j\beta,(\alpha=1,\beta=2)$
$k_1=(s+1-j2)F(s)|_{s={-1+j2}}=\frac{-1+j2}{5}$
$即：k_{1,2}=A\pm jB,(A=-\frac{1}{5},B=\frac{2}{5})$
$k_1=(s+2)F(s)|_{s=-2}=\frac{7}{5}$
故： $F(s)=\frac{\frac{-1+j2}{5}}{s+1-j2}+\frac{\frac{-1-j2}{5}}{s+1+j2}+\frac{\frac{7}{5}}{s+2}$
$F(s)$ 拉式反变换为 $f(t)=\lbrace 2e^{-t}[-\frac{1}{5}\cos(2t)-\frac{2}{5}\sin(2t)]+\frac{7}{5}e^{-2t}\rbrace \epsilon(t)$

3、有多重极点

例： $F(s)=\frac{s-2}{s(s-1)^2}$

解：令： $F(s)=\frac{k_{11}}{(s-1)^2}+\frac{k_{12}}{(s-1) }+\frac{k_2}{s}$
令： $F_1(s)=(s-1)^2F(s)=\frac{s-2}{s}$
$k_{11}=F_1(s)|_{s=1}=-1,k_{12}=\frac{d}{ds}F_1(s)=\frac{s-(s-2)}{s^2}|_{s=1}=2,k_2=sF(s)|_{s=0}=-2$
故： $F(s)=\frac{-1}{(s-1)^2}+\frac{2}{(s-1) }+\frac{-2}{s}$
$F(s)$ 拉式反变换为 $f(t)=(-te^t+2e^t-2)\epsilon(t)$

总结

部分分式分解还是比较常用的，注意分解步骤，计算时仔细一点。常用的拉氏变换要记得。

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