【信号与系统】笔记（4-1）拉普拉斯变换

Author：AXYZdong
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前言

连续系统的S域分析

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

傅里叶变换要满足Dirichlet（狄利克雷）条件中的绝对可积，对于某些增长信号，如 $e^{at}(a>0)$ ,它就不存在傅里叶变换。

引入一个衰减因子 $e^{-\sigma t}（\sigma 为任意实数）$ ，使它与 $f(t)$ 相乘，于是 $e^{-\sigma t}f(t)$ 得以收敛。

$F_{b}(s)=\int _{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st}dt \tag1$
$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-\infty}^{\sigma+\infty} F(s)e^{st }ds \tag2$
$(1)$ 双边拉氏变换， $F_b(s)$ ：象函数

$(2)$ 双边拉氏逆变换， $f(t)$ ：原函数

二、拉氏变换收敛域

使 $f(t)$ 拉氏变换存在的 $\sigma$ 取值范围称为 $F(s)$ 的收敛域

^{取值范围不同，变换的结果也不同}

三、单边拉氏变换

带有初始时刻的信号，双边拉氏变换就转化成单边拉氏变换。
$F_{b}(s)=\int _{0_-}^{\infty} f(t) e^{-st}dt$
$f(t)=[\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-\infty}^{\sigma+\infty} F(s)e^{st }ds] \cdot\epsilon(t)$

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四、常见函数的拉氏变换

1、 $\delta(t) \longleftrightarrow 1, \sigma>-\infty$

2、 $\epsilon(t) 或 1 \longleftrightarrow \frac{1}{s},\sigma>0$

3、指数函数
$e^{-s_0 t} \longleftrightarrow \frac{1}{s+s_0}, \sigma>-Re[s_0]$

4、三角函数
$\cos\omega_0t \longleftrightarrow \frac{s}{s^2+w_0^2}$
$\sin\omega_0t \longleftrightarrow \frac{\omega_0}{s^2+w_0^2}$

总结

拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本差别在于:

傅氏变换将时域函数 $f(t)$ 变换为频域函数 $F(\omega)$ ，或作相反变换，时域中的变量 $t$ 和频域中的变量 $\omega$ 都是实数；而拉氏变换是将时间函数 $f(t)$ 变换为复变函数 $F(s)$ ，或作相反变换，这时，时域变量 $t$ 虽是实数, $F(s)$的变量 $s$ 却是复数，与 $\omega$ 相比较，变量 $s$ 可称为“复频率”。

傅里叶变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换则建立了时域与复频域( $s$ 域)间的联系。

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