拉普拉斯变换与Z变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
- Fourier 变换：
\[ \begin{align*} x(t)&\stackrel{F}{\longrightarrow}X(j\omega)\\ X(j\omega)&\stackrel{F^{-1}}{\longrightarrow}x(t)\\ X(j\omega)&=\underbrace{|X(j\omega)|}_{幅度谱}e^{j\overbrace{\theta(j\omega)}^{相位谱}} \end{align*} \]
F变换把时域分析的卷积运算转化为频率域的乘积运算
- 连续时间Fourier 变换收敛条件：
\[ \begin{align*} 狄里赫利条件 \begin{cases} 1. \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t|dt<\infty，x(t)绝对可积\\ 2. 在任何有限区间内，x(t)只有有限个最大值和最小值\\ 3. 在任何有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，且不连续点上信号有有限值 \end{cases} \end{align*} \]
一些常见信号如阶跃、斜坡、周期都不满足绝对可积的条件，不能直接求F变换
\(eg:\) 周期信号 \(x(t)\stackrel{F}{\longleftrightarrow}2\pi X_1(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi a_k \delta(\omega-k\omega_0)\)，当 \(t\rightarrow \infty\)，\(x(t)\) 不趋于0
解决方法：
在自然界，指数信号 \(exp(-x)\) 是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。引入衰减因子 \(e^{-\sigma t}\)，乘以 \(x(t)\)，使 \(t\rightarrow \infty, \ \ x(t)e^{-\sigma t}\rightarrow 0\)。
\[ \begin{align*} F\{x(t)e^{-\sigma t}\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-t\overbrace{(\sigma+j\omega)}^{S}}dt\\ \Leftrightarrow \quad X(\sigma+j\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-t\overbrace{(\sigma+j\omega)}^{S}}dt\\ \Leftrightarrow \quad L\{x(t)\}&=X(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt \quad 双边Laplace变换正变换 \end{align*} \]
\(X(s)\) 称为 \(X(t)\) 的象函数
\[ \begin{align*} x(t)e^{-\sigma t}&=F^{-1}\{X(\sigma+j\omega)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\sigma+j\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega) t}d\omega\\ x(t)&=L^{-1}\{X(s)\}=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j \infty}^{\sigma+j \infty}X(s)e^{st}ds \quad Laplace反变换 \end{align*} \]
衰减因子 \(e^{-\sigma t}\)：
\[ e^{st}=e^{(\sigma+j\omega)t }=e^{\sigma t}e^{j\omega t} \]
数学含义：原函数乘以衰减因子以满足绝对可积条件物理含义：频率 \(\omega\) 变换为复频率 \(s\)
- \(\omega\) 只能描述振荡的重复频率
- \(s\) 不仅描述重复频率，还描述振荡幅度的增长速率或衰减速率
关系：
傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为 \(exp(0)\)，拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。
从拉普拉斯变换到Z变换
关系：
拉普拉斯变换针对连续信号，Z变换针对离散信号。
Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换。
Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，\(z=exp(Ts)\)。
在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。
公式：
一个离散的时间信号 \(x[n]\) 的Z变换定义为
\[ X(z)\overset{def}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]z^{-n} \]
若将复变量z写成极坐标形式
\[ z=\overbrace{r}^{模}e^{j\overbrace{\omega}^{相角}} \]
转换成
\[ X(re^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n](re^{j\omega})^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{ x[n]r^{-n}\}e^{-j\omega n} \]由此可见，\(X(re^{j\omega})\) 就是序列 \(x[n]\) 乘以 \(r^{-n}\) 后的傅里叶变换，即
\[ X(re^{j\omega})=F\{x[n]r^{-n}\} \]
在Z变换中，当变换变量z的模为1，\(z=e^{j\omega}\)，z变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数z平面中，半径为1的圆上的z变换。在Z平面上，这个圆称为单位圆。