信号公式汇总之拉普拉斯变换

拉普拉斯变换：

正变换： $F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt=\mathscr{L}[f(t)]$
逆变换： $F(t)=\frac{ 1 }{2\pi j }\int_{\sigma- j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{s t}ds=\mathscr{L}^{-1}[f(s)]$
其中：s= ${\sigma+j \omega}$
常见信号的拉氏变换：
阶跃函数： $\varepsilon(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{ 1 }{s }$ Re{s}>0
单边指数信号： $e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{ 1 }{s+\alpha }$ Re{s}> $-\alpha$
单边正弦信号： $\sin \omega t\varepsilon(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{ \omega }{s^2+\omega ^2}$ Re{s}>0
单边余弦信号： $\cos \omega t \varepsilon(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{ s }{s^2+\omega ^2}$ Re{s}>0
单边衰减正弦： $e^{-\alpha t} \sin\omega t \varepsilon(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{ \omega }{(s+\alpha)^2+\omega^2 }$ Re{s}>- $\alpha$

t的正幂信号： $t^n \varepsilon(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{n! }{s^{n+1} }$ Re{s}>0
$\mathscr{L}[\varepsilon(t)]=\frac{1}{s}$
$\mathscr{L}[t]=\frac{1}{s^2}$
$\mathscr{L}[t^n]=\int_{0_-}^{\infty} t^n e^{-st} dt=\frac{n }{s}...\mathscr{L}[t^{n-1}]=...=\frac{n! }{s^{n+1} }$
冲激信号： $\delta (t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $1$ Re{s}：（- $\infty$，+ $\infty$）
$\delta (t-t_0)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $e^{-s t_0}$
$\delta{\prime}(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$s

拉氏变换性质：
线性： $a_1 f_1(t)+a_2 f_2(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $a_1 F_1(s)+a_2 F_2(s)$
时域微分： $\frac{d f(t)}{dt }$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $s F(s)-f(0_-)$
$\frac{d^2 f(t)}{dt }$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $s^2 F(s)-sf(0_-)-f{\prime}(0_-)$
$\frac{d^n f(t)}{dt }$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $s^n F(s)$- $s^{n-1}f(0_-)$-…- $f^{(n-1)}(0_-)$
时域积分： $\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{F(s)}{s }$+ $\frac{f^{(-1)}(0_-)}{s }$
有始函数： $\frac{df(t)\varepsilon(t)}{dt }$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $SF(s)$
$\int_{0_-}^{t}f(\tau)d\tau$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{F(s)}{s }$
$=>t \varepsilon(t)=\int_{0_-}^{t}\varepsilon(\tau)d\tau$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{1}{s^2 }$
延时特性(时域平移)： $f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $e^{-s t_0}F(s),t_0>0$
S域平移： $f(t)e^{-s t_0}$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $F(s+s_0)$
尺度变换： $f(at)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{1}{a }F(\frac{s}{a }),(a>0)$
初值定理： $f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0_+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s) （当F(s)是真分式时成立）$
终值定理： $f(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s) （F(s)极点在复频域左半平面）$
卷积定理：时域 $f_1(t)*f_2(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $F_1(s).F_2(s)$
卷积定理：频域 $f_1(t).f_2(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{1}{2\pi j }F_1(s)*F_2(s)$
复频域微分： $-tf(t)$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\frac{d(F(s)}{ds}$
复频域微分： $\frac{f(t)}{t}$ $\leftarrow$ $\rightarrow$ $\int_s^{\infty}F(\eta)d\eta$

序列傅里叶变换（DTFT:discrete time Fourier transform）

正变换： $$
逆变换：
性质：序列位移：
性质：频域位移：
性质：线性加权： $DTFT [nx(n)]=j[\frac{d}{d \omega}X e^{(j\omega)}]$
性质：序列反褶： $DTFT [x(-n)]=X e^{(-j\omega)}$