接着前面傅里叶变换继续往后说（虽然傅里叶变换写得很乱），讨论拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
已经知道傅氏变换是建立在傅里叶积分的基础上，一个函数除了要满足狄氏条件之外，还要在（-∞，+∞）区间上绝对可积，即积分的值不能等于无限大。
而绝对可积是一个相当强的条件，及时一些很简单的函数（如线性函数，正余弦函数等）都不满足这个条件，因此傅氏变换存在着以下两个缺陷
一：在引入δ函数之后，傅氏变换的适用范围拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但是对于指数及增长的函数仍无能为力。
二：傅氏变换必须在整个实轴上有定义，但是在实际工程中，是不存在时间t<0这个概念的，通常都是由t=0开始计时，只需要t>0对应的这部分函数。
假设存在函数f(t),满足傅氏变换的条件，则有傅氏变换
$$
\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-jwt}dt}\,\, \text{式}1
$$
为了解决上面两个存在的缺陷，可以分别对傅氏变换做如下两个处理：
为解决问题一，我们可以再给函数f(t)乘上一个衰减因子（一个很小很小的分数）e-βt, 可得f(t)e-βt。
为解决问题二，我们可以给函数f(t)乘上一个单位阶跃函数u(t)，当t<0时，u(t)=0，t>0时，u(t)=1。
综上所述可以得到f(t)u(t)e-βt,然后对f(t)u(t)e-βt做傅里叶变换可得：
$$
\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) u\left( t \right) e^{-\beta t}e^{-jwt}dt}
\\
\text{由于乘入了单位阶跃函数}u\left( t \right) \text{，可以将其分}为两\text{部分计算}
\\
\,\,\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) *1*e^{-\beta t}e^{-jwt}dt}=\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-\left( \beta +jw \right) t}dt}
\\
\,\,\int_{-\infty}^0{f\left( t \right) *0*e^{-\beta t}e^{-jwt}dt}=0
\\
\text{由于在（}0\text{，}-\infty \text{）}区\text{间上的积分}=0\text{，因此可以将对}f\left( t \right) \text{的傅氏变换化简}为\text{如下式子}
\\
\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] =\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-\left( \beta +jw \right) t}dt}
\\
\text{令} -\left( \beta +jw \right) =s\,\,\text{即可得到}f\left( t \right) \text{的拉普拉斯变换公式}
\\
F\left( s \right) =\int_0^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-st}dt}
\\
\text{称}F\left( s \right) 是f\left( t \right) \text{的拉普拉斯变换，记}为F\left( s \right) =\mathscr{L}\left[ f\left( t \right) \right] \text{。}
$$
以上便是拉普拉斯变换公式和拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系。