【十二】拉普拉斯变换——1

作者：LeeKunHwee
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来源：简书

关于拉普拉斯变换一个比较有趣的解释：

A good way of thinking of where the Laplace Transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.——Arthur Mattuck (MIT数学系返聘教授，原MIT数学系主任)

一个比较好的关于Laplace变换的解释方法是从幂级数(Power Series)入手。

Pierre-Simon marquis de Laplace(1749－1827)(图片来源：维基百科)

皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（法语：Pierre-Simon marquis de Laplace），法国著名的天文学家和数学家，他的研究工作对天体力学和统计学有举足轻重的发展。他也是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者，对数学和物理学的发展具有杰出贡献。

学过控制的都知道拉普拉斯变换(Laplace Transform)，但是你们是不是也有疑问，拉普拉斯变换中的S到底是个什么鬼？皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵当年为啥就能想出个这样的数学变换公式？

我是自从接触拉普拉斯变换就一直有这样的疑问，就感觉这种东西很强行，你没有理解却又无法拒绝。直到有一天，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟，膜拜大神！

我们知道，一个幂级数可以写为如下形式：

$\large \dpi{80} \mathbf{A(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

如果将an看成一组离散的函数数列，则上式也可以写为：

$\large \mathbf{A(x)=\sum_{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$

把 $a(n)$ 看成是作为幂级数系数的一组离散函数，上式就可以看作是函数 $A(x)$ 的构造过程，即，只要输入一个 $a(0),a(1),a(2),...$ 序列，就可以输出一个 $A(x)$ ，其中， $x$ 是输出函数 $A(x)$ 的自变量。

我的理解：任何一个函数都可以写成幂级数的形式。

这种变换可以看做是一种映射， $a(n)$ 到 $A(x)$ ，准确的说是 $a(n)$ 到 $A(x^n)$ 。

$a(n)$ 的基是 $x$ ， $A(x^n)$ 的基是 $x^n$ 。

现在，举一个例子，如果取 $\large a(n)=1$ ，即 $\large a(0)=1,a(1)=1,a(2)=1,...$ 那么我们将得到：

$\large A(x)=1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+...$

有人说上式最后等于 $\large \frac{1}{1-x}$ ，但这么说其实不准确，因为并不是对于所有的 $\large x$ 上式都成立，只有当它是一个收敛级数时才成立！而上式中 $x$ 的收敛域为 $\large (-1,1)$ ，所以式上式可以改写为：

$\large A(x)=1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+...\frac{1}{1-x},\left | x \right |<1$

再举一个例子，如果 $\large a(n)=\frac{1}{n!}$ ，则有：

$\large A(x)=1+\frac{1}{1!}x^{1}+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+...=e^x$

我的理解：是不是可以理解成，将 $\large a(n)=\frac{1}{n!}$ 进行坐标变换，得到了 $\large A(x)$ 。变换后的坐标就是 $\large (1,x^{1},x^{2},x^{3},...,x^n)$ ，而坐标值就是 $\large (1,\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},\frac{1}{3!}x^{3},...,\frac{1}{n!})$ 。

在这个例子里， $\large x$ 对于任意实数均成立，其实上式就是 $\large e^x$ 在 $\large x=0$ 处的泰勒展开。

从上面的例子可以看出，取一个定义在正整数或非负的整数上的离散函数，然后进行加和操作，结果却能够产生一个连续函数。注意其中的离散函数 $\large a_{n}$ 的变量为 $\large n$ ，加和得出的结果却是关于变量 $x$ 。总之，这是幂级数的一种性质，也属于一种离散求和的情况。

假设让这个求和变得连续而不是离散，即不是让变量 $\large n=0,1,2,3...$ ，另外定义一个变量 $\large t$ ，并且 $\large 0\leqslant t< \infty$ ，即t可以为 $\large [0,\infty)$ 中的任意实数。

如果想用 $\large t$ 取替代 $\large n$ ，显然不能再用上面处理离散序列的办法在所有实数上求和，而是要通过积分。即：

$\large \mathbf{A(x)=\int_{0}^{\infty }a(t)x^{t}}dt$

我们可以保留这种形式，但是没有数学家喜欢这样做，而且工程师也很少这样做，因为当进行积分和微分操作时，没有人希望其中包含一个指数函数的底是x之类的积分或微分项，这让人看起来很头疼。而唯一方便的是自然底数e。

只有e才是人们喜欢用来积分或微分的，因为对以自然底数为底的指数函数y=e^ax进行积分或微分后的结果还是其本身或仅仅是本身乘以了一个系数，满足该性质的函数世界上仅此一家、别无分店！！！想知道e的来源请见《自然底数e怎么就“自然”了》。

因此我们将以x为底数的指数变换成为以e为底数的指数形式：

$\large \mathbf{A(x)=\int_{0}^{\infty }a(t)(e^{\ln x})^{t}}dt$ 。

现在，我们再看这个积分，显然，我们写出这个积分当然希望其可解，或者说收敛。毕竟这是一个从零到无穷大的广义积分，我们需要特殊对待，只有当 $\large x$ 是一个小于1的数时该积分才有可能收敛，只有这样，当幂越来越大时，得到的数才会越来越小，所以这里要求 $\large x< 1$ 。然后，我们还希望 $x$ 为正值，否则会遇到负幂的麻烦，例如当 $\large x=-1$ ， $\large t=1/2$ 时，将得到虚数，这是我们所不愿看到的，所以要求 $\large 0<x<1$ ，我们这么做是为了让积分收敛。那么在这种情况下， $\large lnx$ 又会是什么样的呢？显然，当 $\large 0<x<1$ 时， $\large lnx<0$ 。

$\large lnx$ 这个变量看起来貌似有点复杂，我们何不用一个变量去代替它呢？

那么就用s吧！

现在令 $\large s= -lnx$ 或 $\large -s= lnx$ ，因为 $\large lnx<0$ ，取 $\large -s= lnx$ 的话， $\large s$ 就总为正数了，处理正数当然更符合人们的习惯。另外，我们用 $\large f(x)$ 代替 $\large a(x)$ ，这样看上去更像我们熟悉的函数形式。我们上面各种替换都只是为了修饰，我们将这些替换代入式中，得：

$\large F(s)=\int_{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ 。

我们居然通过这种方式得到了Laplace Transform！！！

如果用符号代替，可以将式写为： $\large F(s)=\pounds [f(t)]$

这就是拉普拉斯变换，当将一个 $t$ 的函数输入，将得到一个关于 $s$ 的函数。

另外提一下，这里说的是“变换”，其实数学中还有一个概念叫做“算子”，而变换和算子的最本质区别在于，经过“算子”运算，变量没有变，比如微分就是一种典型的算子，而经过“变换”运算则会改变变量的形式。

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【十二】拉普拉斯变换——1

关于拉普拉斯变换一个比较有趣的解释：

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